Re: [obm-l] MAIS UM PROBLEMA INTERESSANTE

[gugu@xxxxxxx]

   Caro Klaus,
   Vamos l�:
i) Como o coeficiente l�der de f � 1 e o coeficiente constante � 2, as poss�veis
ra�zes racionais de f s�o 1,-1,2 e -2, as quais n�o s�o ra�zes de f, como se
verifica facilmente. Assim, se f n�o � irredut�vel, f(x) pode ser fatorada como
f(x)=(x^2+ax+b)(x^3+rx^2+sx+t), com a,b,r,s,t inteiros. Temos ent�o a+r=-1,
b+ar+s=-4,t+as+br=4,at+bs=0 e bt=2. Agora temos dois casos:
i.1) |b|=2 e |t|=1: at+bs=0 implica que a � par. t+as+br=4 implica que t � par,
absurdo, pois |t|=1.
i.2) |b|=1 e |t|=2: at+bs=0 implica que s � par. t+as+br=4 implica que r � par.
Assim, b+ar+s=-4 implicaria que b � par, absurdo, pois |b|=1.
    Isto termina a prova de que f � irredut�vel.
    Abra�os,
              Gugu

P.S.: Caso haja d�vidas na afirma��o de que f tem duas ra�zes distintas entre 1
e 2, basta observar que f(1)=f(2)=2>0 e f(3^(1/2))=5-3.3^(1/2)<0.

Citando Klaus Ferraz <klausferraz@yahoo.com.br>:

> Ol� mestre,
>      nao entendi como provo que o polinomio (x)=x^5-x^4-4x^3+4x^2+2 � um
> polin�mio irredut�vel em Z[x].
>
>
> gugu@impa.br escreveu:
>   Algumas sugest�es:
> i) Prove (mais ou menos no bra�o) que f(x)=x^5-x^4-4x^3+4x^2+2 � um polin�mio
> irredut�vel em Z[x].
> ii) Conclua que, se r^n=a, onde a � racional, para alguma raiz r de f(x)=0
> ent�o
> f(x) divide o polin�mio x^n-a, e logo todas as ra�zes de f t�m o mesmo
> m�dulo.
> Verifique ent�o que f tem duas ra�zes reais distintas entre 1 e 2, o que nos
> leva a um absurdo.
> Abra�os,
> Gugu
>
> Citando Jo�ffffe3o Silva :
>
> > (OBM - 1995) Mostre que a n-�sima raiz de um n�mero racional (sendo n um
> > inteiro positivo) n�o pode ser raiz do polin�mio x^5 - x^4 - 4x^3 + 4x^2 +
> 2.
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