Re: [obm-l] MAIS UM PROBLEMA INTERESSANTE

[saulo nilson <saulo.nilson@xxxxxxxxx>]

com algumas modificaçoes chega-se a

 

2=(4-x^2)(x-1)x^2

1/2 = 1/(4-x^2)(x-1)x^2

 

24 = 3/(2-x)  -1/(2+x) +16/(x-1) -12/x -12/x^2

se c e um racional

x =c^1/n e raiz

 

e

2= (2^n)^1/n

 

vc usa a relação

 

a^n -b^n = (a-b)(a^(n-1) +a^(n-2)b^1 +a^(n-3)*b^2+,,,,+,,a^1*b^(n-2) +b^(n-1))

a^n +b^n=(a+b)(a^(n-1)-a^(n-2)*b^1+,,,,,-a^1*b^(n-2)+b^(n-1))

coloca tudo na forma de somatorio que e melhor

 

vc vai parar em um monte de sequencias que tem como termos maximos

 

c^(n-1)/n e c^(n-2)/n

 

para que as sequencias nao convirjam para um numero inteiro, que no caso e 24, os termos que contem raizes nao podem se anular,

 

isso so ocorre se

4^n -c^2>0

c-1>0

1<c<2^n

1<c^1/n<2

 

portanto, se a raiz estiver neste intervalo, as sequencias nunca convergem, agora e so provar que todas as raizes estao neste intervalo, voltando a formula original:

 

2=(4-x^2)(x-1)x^2

 

vemos que se x for maior que 2, teremos que, o produto que contem os termos em x será negativo, nao pode por que s 2 e positivo, logo x>2,  da mesma maneira se x<1, o produto tambem sera negativo, sendo assim, todas as raizes estao situadas neste intervalo, ou seja,

c^1/n nunca e raiz, abraço, saulo.

 

Fazendo as substituiçoes, eu cheguei na seguinte formula:

 

24*(4^n-c^2)=2^2n +16*(4^n-c^2)/(c-1)  +3*c*2^(n-1) +2^(n+1)*soma(p=2 a (n-2)) 2^(n-p)*c^[(p-1)/n] +

+c*soma(p=2 a n) 2^(n-p)*c^[(p-1)/n]*[3+(-1)^(p-1)]  +

+16*[(4^n-c^2)/(c-1)]*soma(p=1 a (n-3)) [c^(p/n)]+[c^[(n-1)/n] +c^(n-2)/n]*[12(4^n-c^2)/c +2^(n+1)  +16(4^n-c^2)/(c-1)]

 

 

 

On 2/2/06, Carlos yuzo Shine <cyshine@yahoo.com > wrote:

Uma outra idéia é, sendo r raiz de f(x) e supondo
por absurdo que r^n = a, sendo que a é um racional
que não é potência perfeita, e considerando que x^n
- a é irredutível (prove!), então x^n - a é
polinômio minimal de r e, portanto, divide f(x). Mas
então n é no máximo 4 e é só fazer no braço.

Ou verificar que f(x) é irredutível. Aí o resultado
segue imediatamente.

[]'s
Shine

--- gugu@impa.br wrote:

>    Algumas sugest�es:
> i) Prove (mais ou menos no bra�o) que
> f(x)=x^5-x^4-4x^3+4x^2+2 � um polin�mio
> irredut�vel em Z[x].
> ii) Conclua que, se r^n=a, onde a � racional, para
> alguma raiz r de f(x)=0 ent�o
> f(x) divide o polin�mio x^n-a, e logo todas as
> ra�zes de f t�m o mesmo m�dulo.
> Verifique ent�o que f tem duas ra�zes reais
> distintas entre 1 e 2, o que nos
> leva a um absurdo.
>    Abra�os,
>               Gugu
>
> Citando Jo�ffffe3o Silva < d79i3mn8@yahoo.com.br>:
>
> > (OBM - 1995) Mostre que a n-�sima raiz de um
> n�mero racional (sendo n um
> > inteiro positivo) n�o pode ser raiz do
polin�mio
> x^5 - x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2.
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