[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Espaços Métricos *urgente*

["Marcelo Salhab Brogliato" <k4ss@xxxxxxxxxx>]

Suponha que ele existe, vc vai cair em contradicao.

Suponha que existe um outro ponto, c,  na borda de B_r(a), tal que || x - c 
|| < || x - b ||

Mas b está alinhado com a e x.. logo, vamos ter um triangulo..
Da desigualdade triangular: d(x, a) <= d(x, c) + d(c, a)
d(c, a) = r, já que c pertence a borda..
d(x, a) = d(x, b) + d(b, a) = d(x, b) + r
Logo:

d(x, b) + r <= d(x, c) + r
d(x, b) <= d(x, c)

Mas supomos que d(x, c) > d(x, b).
Absurdo.
Logo, b é o ponto com menor distancia a x.

Abraços,
Salhab

----- Original Message ----- 
From: "Maurizio" <mauz_c@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, January 26, 2006 6:49 AM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Espaços Métricos *urgente*


Obrigado,

Foi mais ou menos isso que eu fiz, usando essa ideia ai...
Mas como mostrar que não tem outro ponto na borda de B que tenha
distancia menor até x?


Marcelo Salhab Brogliato escreveu:

> Se x não está contido em B_r(a), então:
>
> || x - a || > r
>
> || x - a || = d(x,a) > r
>
> Seja o conjunto R = { x / || x - a || = r }, isto é, todos os pontos na 
> borda de B_r(a).
> Então, existe um b pertencente a R, tal que b-a = k (x-a), isto é, está na 
> direção da linha que liga a com x.
> Como b pertence a R, || b - a || = r.
>
> d(x, B_r(a)) + d(B_r(a), a) = d(x, a)

Aqui vc quis dizer
d(x, B_r(a)) + d(a, ???b???) = d(x, a)

> Como b esta na borda de B_r(a) e está na direção da linha que liga a com 
> x, então:

A distancia de d(B_r(a), a) é 0, pq a ta dentro de Br, não é?
Basta dizer q como B_r(a) é centrada em a de raio R, qquer ponto de sua
fronteira dista R do centro. (eu acho)

> d(B_r(a), a) = d(b, a) = r
>
> logo:
> d(x, B_r(a)) = d(x, a) - r
>
> Acho que deu pra entender.. com imagens fica bem mais facil.
>
> Um abraço,
> Salhab

Outro,
Maurizio

>
>
>
> ----- Original Message ----- From: "Maurizio" <mauz_c@terra.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Wednesday, January 25, 2006 2:54 PM
> Subject: [obm-l] Espaços Métricos *urgente*
>
>
> Seja (V,d) um espaço vetorial com a métrica proveniente de uma norma.
> Mostre que:
>
> Se B_r(a) é bola aberta e x não contido em B_r(a), então
>
> d(x,B_r(a)) = d(x,a)-r
>
>
> -----------------------
> Mostrar que a união finita de conjs. limitados é um conjunto limitado.
>
>
> Obrigado a tds
> []'s
> MauZ
>
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