Olá, resolvi apenas a última:
Seja um triangulo qualquer com os ângulos A, B e C.
S = sen(A) + sen(B) + sen(C)
S = sen(A) + 2sen[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]
S = sen(A) + 2sen((pi - A)/2]cos[(B-C)/2], já que A + B + C = pi
Seja A o ângulo comum nos triangulos, entao, sen(A) e sen[(pi-A)/2] também é igual para ambos. Deste modo, vamos considera-los como se fossem constantes.
S = K1 + K2 * cos[(B-C)/2]
O vamos da soma S depende da diferença dos angulos B e C.
Chamemos 2x = B - C, entao:
S(x) = K1 + K2 * cos(x)
Observando o circulo trigonometrico, vemos que quanto menor o valor do ângulo, maior o valor do cosseno. Deste modo, a soma se maximiza para o menor valor de x, isto é, a menor diferença entre os outros 2 ângulos.
Um abraço,
Marcelo
> Ok! Danilo e demais colegas! Vejam outros problemas, se não difíceis e
> trabalhosos, são no mínimo interessantes...Destaque especial para a última
> questão da brasileira de 1989 com direito à engenhosa resolução do olímpico
> Fernando Lukas Miglorância...
>
> Considere um cone circular reto cuja geratriz mede 3 cm e cujo o raio da
> base é igual a 1 cm. Seja P um ponto fixo da circunferênciada da base e C a
> curva, de menor comprimento, na superfície do cone que partindo de P, dá uma
> única volta completa sobre o cone e retorna novamente para o ponto P.
> Determine o comprimento de C.
>
> Se a aresta lateral de uma pirâmide triangular regular mede 2 cm e o ângulo
> entre as faces laterais é igual a 90 graus, encontre o comprimento do lado
> da base.
>
> Prove o seguinte: Se dois triângulos têm um ângulo comum, então a soma dos
> senos dos ângulos internos será maior no triângulo onde a diferença entre os
> dois outros ângulos for menor.
>
>
> Abraços!
>
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