RES: [obm-l] MAIS DOIS EXERCICIOS DA OBM

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

No caso do exercicio 2, eu jah vi uma outra prova baseada em teoria de medidas, especificamente na medida de Hausdorff.  A exemplo da prova que o colega apresentou na Eureka, tambem nao eh muito simples e eh um tanto extensa, embora menos do que a apresentada pelo colega. Na primeira vez que vi, foi grego. Na segunda, jah foi ingles (estava em ingles), mas ainda nao entedi tudo. Aproveitando a sua lembranca, vou olhar pela terceira vez. Nao sei se vou entender tudo.. 

 

Os conceitos de rotacao e de espelhamento, ou reflexao, sao simples e correspondem ao que os nomes sugerem. Dar uma rotacao em um ponto eh facil de entender em coordenadas polares. Se dermos uma rotacao do angulo b no ponto expresso  em coord. polares por ( r, a), obtemos o ponto (r, a+b). Refletir eh obter um ponto simetrico com relacao a um eixo, plano etc. Por exemplo, refletindo-se o ponto (1,0) com relacao ao eixo vertical atraves de uma perpendicular, obtemos (-1,0).

 

Rotacionar ou refletir um conjunto, eh rotacionar ou refletir, segundo o mesmo criterio, cada um de seus pontos.

 

Artur  

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Joÿffffe3o Silva
Enviada em: terça-feira, 10 de janeiro de 2006 21:23
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] MAIS DOIS EXERCICIOS DA OBM

1- (OBM 1996) Seja p(x) o polinomio x^3 + 14x^2 - 2x + 1. Defina p^n(x) como 

p(p^(n -1)(x)). Mostre que existe um inteiro N tal que p^N(x) - x é divisivel por 101 para todos os inteiros x. 

 

2- (OBM 2001 - Nivel U) Seja D o conjunto de pontos de R^2 com |p| menor que ou igual a 1. Seja f : D => D uma função sobrejetora tal que

|f(p) - f(q)| é menor que ou igual a |p - q| para quaisquer p, q de D. Prove que

|f(p) - f(q)| = |p - q|.

(  |(x,y)| = sqrt(x^2 + y^2)  )

 

- obs: Uma solução para o problema 2 encontra-se na Eureka 13. No entanto, ela envolve "composição de rotação com espelhamento". Qual a definação deste conceito? Existe uma solução alternativa que não utilize tal conceito? 

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