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[obm-l] RES: [obm-l] Representação decimal de um irracional
Eu nao
vi o artigo, mas acho que uma possivel prova eh a seguinte:
Seja
a um irracional positivo. Entao, uma possivel representacao decimal
de a eh a = I1(a) + f1(a), onde I1(a) eh a parte inteira de a e f1(a) a
parte fracionaria, dada por uma expansao decimal infinita e nao periodica.
Suponhamos que I2(a) + f2(a) seja outra representacao decimal de a. Entao, I1(a)
+ f1(a) = I2(a) + f2(a). Se I1(a) <> I2(a), entao,
supondo-se sem perda de generalidade que I1(a) > I2(a), temos, contrariamente
aa hipotese que, I1(a) + f1(a) > I2(a) + f2(a), pois as
partes fracionarias encontram-se em (0,1). Logo, I1(a) = I2(a),
do que concluimos que basta mostrar o desejado para irracionais em (0,1).
Se a
estah em (0,1), suponhamos que a tenha 2 representacoes decimais 0, x1
x2...._x_n...... e 0, y1 y2.....y_n..... Entao 10a
= x1 , x2...x_n.... = y1, y2....y_n.... Agora, 10a eh um irracional com 2
expansoes decimais cujas partes inteiras sao, respectivamente, x1 e y1. Em
virtude da conclusao anterior, temos necessariamente que x1 = y1. Proseguindo de
forma indutiva, concluimos que, para todo n, x_n = y_n. Logo, a representacao
decimal de a eh unica.
Se
a<0, podemos utilizar argumento similar ou, simplesmente, aplicar a conclusao
anterior ao irracional positivo -a, o que implica a mesma conclusao para
a.
Abracos
Artur
Pessoal,
Alguém conheçe (e sabe onde eu encontro) uma prova de que a
representação decimal de um irracional é única?
Li o artigo "Os números irracionais" do Hermano Frid na Eureka, porém não
entendi a prova dada por ele para esse fato, alguém conhece alguma
outra ou consegue me explicar um pouquinho melhor a apresentada no artigo?
obrigado.
[]s
daniel