1- (OBM 1996) Seja p(x) o polinomio x^3 + 14x^2 - 2x + 1. Defina p^n(x) como
p(p^(n -1)(x)). Mostre que existe um inteiro N tal que p^N(x) - x é divisivel por 101 para todos os inteiros x.
2- (OBM 2001 - Nivel U) Seja D o conjunto de pontos de R^2 com |p| menor que ou igual a 1. Seja f : D => D uma função sobrejetora tal que
|f(p) - f(q)| é menor que ou igual a |p - q| para quaisquer p, q de D. Prove que
|f(p) - f(q)| = |p - q|.
( |(x,y)| = sqrt(x^2 + y^2) )
- obs: Uma solução para o problema 2 encontra-se na Eureka 13. No entanto, ela envolve "composição de rotação com espelhamento". Qual a definação deste conceito? Existe uma solução
alternativa que não utilize tal conceito?