RES: [obm-l] +Analise(Derivadas)

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Algumas sugestoes:

1) - f' nunca se anula e eh continua, logo tem sempre o mesmo sinal em I
(mesmo que nao fosse continua, isso valeria). Assim, f eh estritamente
crescente ou decrescente e, de fato, possui uma inversa g = f^(-1).  Como f'
nunca se anula em I, g eh diferenciavel em J e g'(x) = 1/f'(g(x) em todo J.
Por hipotese, f' eh diferenciavel em I e, conforme visto, g eh diferenciavel
em J. Por composicao de funcoes, g'' existe entao em J. Usando as regras
classicas, derive g', obtendo g'' que vai ser uma composicao e produtos de
funcoes continuas. 

2) - O resultado analogo eh: se g eh impar e h definida em I, entao suas
derivadas de ordem impar (quando existem) sao pares e suas derivadas de
ordem par (quando existem) sao impares. Todas estas derivadas se anulam em 0
(toda funcao par definida em 0 se anula em 0). 

Para mostrar isto, use a definicao de derivada e propriedades de limites
para mostrar que a conclusao eh valida para g' e para g''. Por inducao,
extenda o resultado para todo inteiro positivo n.

Artur 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de jose.l
Enviada em: segunda-feira, 9 de janeiro de 2006 08:40
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] +Analise(Derivadas)


Olá amigos da lista. Estou com dificuldades nessas questões, quem puder me
ajudar fico muito agradecido! São elas:

1) Seja f: I->R de classe c2 com f(I) = J e f'(x) <> 0 para todo x
pertencente a I. Calcule a derivada segunda de f^(-1): J->R e mostre que
f^(-1) é de classe c2.

2) Seja I um intervalo com centro 0. Uma função f: I->R chama-se par quando
f(-x) = f(x)  e ímpar quando f(-x) = - f(x), para todo x pertencente a I. Se
f é par, suas derivadas de ordem par (quando existem) são funçoes pares e
suas derivadas de ordem ímpar são funções ímpares. Em particular, estas
últimas se anulam no ponto 0. Enuncie resultado análogo e prove.

Obrigado!!! 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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