RES: [obm-l] duvida de analise

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Oi, troquei as bolas, ou melhor, as continuidades. Segundo Rudin, o que chamei de scs eh, na realidade, sci e vice -versa. Diz-se que uma funcao f, definida num espaco topologico qualquer  X e com valores em R, eh semi continua superiormente se, para todo real c,  a imagem inversa do intervalo (-inf,  c)  for aberta em X. Ou seja, o conjunto {x em X | f(x) < c} eh aberto em X para todo real c. A definicao de funcao sci eh similar e simetrica, {x em X | f(x) > c} eh aberto em X para todo real c..

 

Se f eh continua em X, entao as imagens inversas dos intervalos (-inf, c) e (c, inf) sao abertas em X, de modo que f eh semi continua superior e inferiormente. Se f eh semicontinua superior e inferiormente e I =(a,b), a e b em R, entao (a,b) = (-inf, b) Inter (a, inf) e f^(-1)(I) = f^(-1)((-inf, b) Inter  f^(-1)((a, inf)    eh a interseccao de dois abertos, logo um aberto. Se I tiver um pontom extremo infinito, a prorias semi continuidades garantem que f^(-1)(I) seja aberto. Logo, f eh continua em X.

 

Mas isto vale em termos globais.

 

Artur 

 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Artur Costa Steiner
Enviada em: segunda-feira, 2 de janeiro de 2006 12:41
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RES: [obm-l] duvida de analise

Esta definicao ainda estah estranha. O delta citado nao aparece em nenhuma desigualdade.

 

Eu vou confirmar a definicao de funcao semi continua. Acho que semi continua superiormente eh o que em Ingles se diz upper continuous. Em um livro do Rudin, em Ingles, diz-se que uma funcao f, definida num espaco topologico qualquer  X e com valores em R, eh upper continuous se, para todo real c,  a imagem inversa do intervalo (c , inf) for aberta em X. Ou seja, o conjunto {x em X | f(x) > c} eh aberto em X para todo real c. Semi continua inferiormente deve ser o lower continuous do Ingles, obtida subtistiundo-se  (c , inf) por (-inf, c) na definicao anterior, ou seja,  o conjunto {x em X | f(x) < c} eh aberto em X para todo real c. 

 

Particularizada para um ponto a de X, acho que semi continua superiormente significa que o conjunto  {x em X | f(x) > f(a) eh aberto em X

 

Artur

 

 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de jose.l
Enviada em: quarta-feira, 28 de dezembro de 2005 15:35
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] duvida de analise

Olá amigos da lista! Perdoem o enuciado da primeira questao esta errado!

Fico muito agradecido pela atenção pois não tenho ninguem para tirar

minhas duvidas! o enunciado certo é:

1) Uma função f:R->R diz-se semi-contínua superiormente(scs) no ponto a

pertencente a X quando, para cada c > f(a) dado, existe d(delta) > 0 tal que

x pertencente a X, |x - a| > 0 implicam f(x) > c. Defina função semi-continua

inferiormente (sci) no ponto a. Prove que f é continua no ponto a se, e somente

se, é scs e sci nesse ponto. Prove que se f é scs, g é sci no ponto a e f(a) < g(a)

então existe d(delta) > 0 tal que x pertenxente a X, |x - a| > 0 implica f(x) < g(x).