[obm-l] RES: [obm-l] + duvida de análise

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

1) Nao hah um engano no enunciado? Talvez eu eh que esteja enganado, mas me parece que o enunciado estah equivocado.

 

2) Se a eh ponto de aderencia de X, entao existe um sequencia (x_n) em X que converge para a. A continuidade de f implica que f(a) = lim f(x_n). Como (x_n) eh uma seq. em X, temos f(x_n) = 0 para todo n, de modo que f(a) = lim (0) = 0.

 

3) Seja h = f - g. Entao, h eh continua em a e, em toda vizinhanca V de a, existem x e y tais que h(x) < 0 e h(y) >0.  Se h(a) < 0, a continuidade de h em a implicaria a existencia de uma vizinhanca V de a na qual h fosse estritamente negativa, contariando a conclusoa anterior. Analogamente, h(a) > 0 tambem leva a contradicao.  Logo , h(a) = f(a) - g(a) =0 => f(a) = g(a).

 

4) A funcao f dada eh continua para x<>0, de modo que f apresenta a propriedade do valor intermediario em qualquer intervalo que nao contenha 0. Considerando que f eh impar, basta, para completarmos a prova, mostrar que f apresenta a propriedade do valor intermediario em todo intervalo da forma [0, a], a>0. Seja h compreendido entre f(0) = 0 e f(a) = sen(1/a). Existe w em (0, 2pi) tal que sen(w) = h. Como o seno eh periodica com periodo fundamental 2pi, temos sen(2*k*pi + w) = h para todo k =0, 1,2...Temos que 1/x -> oo quando x -> 0+, de modo que, para uma infinidade de x em (0, a), temos 1/x = 2*k*pi + w para algum k =0,1,2...;.e, portanto, sen(1/x) = sen(w) = h. Logo,  f apresenta a propriedade do valor intermediario em [0,a] para todo a>0.

 

5) A prova de que f+g eh uniformemente continua eh muito simples.  Ppara o caso de f*g, observemos que existe M>0 - tal que |f(x)| < M e |g(x)| < M para todo real x. Para todos reais x e y, temos que |f(x)*g(x) - f(y)*g(y)| = |f(x)*g(x) - f(x)*g(y) + f(x)*g(y)  - f(y)*g(y)| = |f(x)*(g(x) - g(y))  +  g(y)*(f(x) - f(y))| <= M*|g(x) - g(y)| + M*|f(x) - f(y)|. As continuidades uniformes de g e de f  implicam que, para todo eps>0, exista d>0 tal que |g(x) - g(y)| < eps/(2*M) e   |f(x) - f(y)| < eps/(2*M) para todos xe y tais que |x -y| < d. Sunstituindo na desigualdade anterior, concluimos que  |f(x)*g(x) - f(y)*g(y)| < eps para tais elementos x e y, o que nos mostra que f*g eh uniform. continua em R.

 

Para o caso do max e do min, observe que max{f(x),g(x)}  = (f(x) + g(x) + |f(x) - g(x)|)/2 e  min{f(x),g(x)} =  (f(x) + g(x) - |f(x) - g(x)|)/2.  As contin. uniformes de f e de g implicam a de f+g que, por sua vez, implica a de |f +g|. para ver que a contin. uniforme de uma funcao u implica a de |u|, observe que, pela desiguladade triangular, para todos x e y temos | |u(x)| - |u(y)| | <= |u(x) - u(y)| . Se u eh uniform. continua, podemos escolher d >0 tal que se |x -y| < d, entao  | |u(x)| - |u(y)| | <= |u(x) - u(y)| < eps. conforme afirmado.

 

Espero ter ajudado.

 

Artur

   

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de jose.l
Enviada em: segunda-feira, 26 de dezembro de 2005 13:24
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] + duvida de análise

Olá amigos da lista! Agradeço ajuda recebida! Quem puder me ajujar nessas questões eu agradeço! Das 5 eu fiz 4, mas não tenho certeza! Desde de já, obrigado

 

1)Uma função f:X-R diz-se semi-continua superiormente (scs) no ponto a Î X quando, para cada c > f(a) dado, existe d >0 tal que x Î X, |x-a|>d implicam f(x) > c. Defina função função semi-continua inferiormente (sci) no ponto a. Prove que se f é scs, g é sci no ponto a e f(a)<g(a) então existe d >0 tal que x Î X, |x-a|>d Þ f(x)<g(x).

 

2) Seja f:R->R continua. Prove que se f(x) = 0 para todo x Î X então f(x) = 0 para todo

x pertencente ao seu conjunto dos seus pontos aderentes.

 

3) Sejam f,g:->R continuas no ponto a. Suponha que,  em cada vizinha V de a, existam pontos x,y tais que f(x)< g(x) e f(y) > g(y). Prove que f(a) = g(a).

 

4) Diz -se que uma função f:->R, definida no intervalo I tem a propriedade do valor intermediário quando a imagem de f(J) de todo intervalo J Ì I é um intervalo. Mostre que a função f:R->R, dada por f(x)= sem(1/x) se x ¹ 0 e f(0) = 0, tem a propriedade do valor intermediário, embora seja descontínua.

 

5) Sejam f,g:X->R uniformemente contínuas. Prove que f + g é uniformemente contínua. O mesmo ocorre com o produto f*g desde que f e g sejam limitadas. Prove que j,y:X->R, dadas por  j(x) = max{f(x),g(x)} e y(x) = min{f(x),g(x)} xÎ X são uniformemente contínuas.