[obm-l] =?ISO-8859-15?Q?RE=3A=20=5Bobm=2Dl=5D=20Fun=E7=E3o=20cont=EDnua=20de=20irracionais=20em=20racionais=20e=20vice=20versa?=

[kleinad2@xxxxxxxxx]

Se f não é contínua, no enunciado nada me impede de fazer f(x) = 1 para
todo x irracional e f(y) = pi para todo y racional, já que não tem nada
exigindo injetividade ou sobrejetividade.

Por outro lado, se quiséssemos f contínua, realmente não é possível. Seja
I um intervalo, f:I --> R satisfazendo as 3 condições. Seja X = Q inter
I, e Y = Q* inter I (* indica complementar). Logo, I = X uniao Y. Como f
é função, #f(X) <= #X <=#Q. E pela condição f(Y) contido em Q, temos #f(Y)
<= #Q. Logo, f(I) é enumerável.

No entanto, como f é contínua e I é conexo, f(I) também é conexo, o que
aliado à enumerabilidade e ao fato de que estamos em R implica que f(I)
é um ponto. Assim, como f(X) inter f(Y) é vazio, a única possibilidade é
que I contenha apenas racionais ou apenas irracionais, logo, sendo intervalo,
I só pode consistir num único ponto. Como isso não é interessante, fica
provado (se é que não cometi erros, hehehe) que, para I não-degenerado,
tal f não pode existir.

[]s,
Daniel

 '>'-- Mensagem Original --
 '>'From: Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>
 '>'To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Função contínua de irr
 '>'	acionais em racionais e vice versa
 '>'Date: Thu, 8 Dec 2005 15:58:36 -0200 
 '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'
 '>'
 '>'Mesmo que vc nao exija continuidade, acho que esta funcao nao existe,
certo?
 '>'Se existisse, o conjunto dos irracionais seria a imagem atraves de f
do
 '>'conjunto Q, havendo assim uma sobrejecao de Q sobre os irracionais.
Mas isto
 '>'eh impossivel, pois - mesmo argumento que vc usou - Q eh enumeravel
e os
 '>'irracionais nao sao. Igual consideracao vale para intervalos limitados,
 '>'certo?
 '>' 
 '>'Artur 
 '>'
 '>' -----Mensagem original-----
 '>'De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome
 '>'de
 '>'Bruno França dos Reis
 '>'Enviada em: quinta-feira, 8 de dezembro de 2005 12:47
 '>'Para: OBM
 '>'Assunto: [obm-l] Função contínua de irracionais em racionais e vice
versa
 '>'
 '>'
 '>'
 '>'Olá
 '>'
 '>'Um amigo me propôs uma questão: construa uma função f definida em algum
 '>'intervalo dos reais (ou em todos os reais) de forma que:
 '>'(i) f leva um irracional a um racional
 '>'(ii) leva um racional a um irracional
 '>'(iii) seja contínua em todos os pontos
 '>'
 '>'
 '>'É fácil construir uma que atenda às condições (i) e (ii). É fácil também
 '>'construir uma que atenda às condições (i) e (ii) e que seja racional
em uma
 '>'quantidade finita (ou enumerável) de pontos.
 '>'
 '>'Agora não sabíamos construir uma que fosse contínua em todos. Eu acho
que
 '>'provei que não é possível. Seria possível alguém verificar a prova?
 '>'
 '>'Tome a e b no intervalo em que f está definida, de forma que a seja
um
 '>'racional e b seja irracional. Considere o intervalo definido por [f(a),
 '>'f(b)] (f(a) != f(b), obviamente), que está contido na imagem de f (pois
f
 '>'é
 '>'contínua). Então temos que todos os irracionais contidos no interval
 '>'[f(a),f(b)], isto é: [f(a),f(b)] inter (R - Q), devem ser imagem de
 '>'racionais no intervalo [a,b]. Seja g uma restrição de f aos racionais
do
 '>'intervalo [a,b], com contradomínio igual ao conjunto de todos os irracionais
 '>'do intervalo [f(a),f(b)], que assume os mesmos valores que f. Essa função
 '>'g
 '>'deve ser sobrejetora (pois tem que assumir pelo menos uma vez cada valor
 '>'irracional do intervalo [f(a),f(b)], que é exatamente seu contradomínio).
 '>'Então queremos construir uma função sobrejetora de um conjunto enumerável
 '>'em
 '>'um conjunto não-enumerável, o que não é possível (há "mais" irracionais
que
 '>'racionais, logo não há valores suficientes no domínio de g para que
possamos
 '>'atingir todos os valores do contradomínio). Então f também não pode
assumir
 '>'todos os valores irracionais entre f(a) e f(b) somente a partir dos
 '>'racionais entre a e b. Logo não existe tal função f.
 '>'
 '>'Tá certo issi aí?
 '>'
 '>'Abraço
 '>'Bruno
 '>'
 '>'-- 
 '>'Bruno França dos Reis
 '>'email: bfreis - gmail.com <http://gmail.com> 
 '>'gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
 '>'<http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key> 
 '>'icq: 12626000
 '>'
 '>'e^(pi*i)+1=0 
 '>'



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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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