[obm-l] RES: [obm-l] Função contínua de irracionais em racionais e vice versa

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Mesmo que vc nao exija continuidade, acho que esta funcao nao existe, certo? Se existisse, o conjunto dos irracionais seria a imagem atraves de f do conjunto Q, havendo assim uma sobrejecao de Q sobre os irracionais. Mas isto eh impossivel, pois - mesmo argumento que vc usou - Q eh enumeravel e os irracionais nao sao. Igual consideracao vale para intervalos limitados, certo?

 

Artur 

 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Bruno França dos Reis
Enviada em: quinta-feira, 8 de dezembro de 2005 12:47
Para: OBM
Assunto: [obm-l] Função contínua de irracionais em racionais e vice versa

> Olá
>
> Um amigo me propôs uma questão: construa uma função f 
>   definida em algum intervalo dos reais (ou em todos os reais) de forma 
>   que:
> (i) f leva um irracional a um racional
> (ii) leva um racional a um 
>   irracional
> (iii) seja contínua em todos os pontos
>
>
> É fácil 
>   construir uma que atenda às condições (i) e (ii). É fácil também construir uma 
>   que atenda às condições (i) e (ii) e que seja racional em uma quantidade 
>   finita (ou enumerável) de pontos.
>
> Agora não sabíamos construir uma que 
>   fosse contínua em todos. Eu acho que provei que não é possível. Seria possível 
>   alguém verificar a prova?
>
> Tome a e b no intervalo em que f está 
>   definida, de forma que a seja um racional e b seja irracional. Considere o 
>   intervalo definido por [f(a), f(b)] (f(a) != f(b), obviamente), que está 
>   contido na imagem de f (pois f é contínua). Então temos que todos os 
>   irracionais contidos no interval [f(a),f(b)], isto é: [f(a),f(b)] inter (R - 
>   Q), devem ser imagem de racionais no intervalo [a,b]. Seja g uma restrição de 
>   f aos racionais do intervalo [a,b], com contradomínio igual ao conjunto de 
>   todos os irracionais do intervalo [f(a),f(b)], que assume os mesmos valores 
>   que f. Essa função g deve ser sobrejetora (pois tem que assumir pelo menos uma 
>   vez cada valor irracional do intervalo [f(a),f(b)], que é exatamente seu 
>   contradomínio). Então queremos construir uma função sobrejetora de um conjunto 
>   enumerável em um conjunto não-enumerável, o que não é possível (há "mais" 
>   irracionais que racionais, logo não há valores suficientes no domínio de g 
>   para que possamos atingir todos os valores do contradomínio). Então f também 
>   não pode assumir todos os valores irracionais entre f(a) e f(b) somente a 
>   partir dos racionais entre a e b. Logo não existe tal função f.
>
> Tá 
>   certo issi aí?
>
> Abraço
> Bruno
>
> -- 
> Bruno França dos 
>   Reis
> email: bfreis - gmail.com
> gpg-key: 
>   http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key 
>   
> icq: 12626000
>
> e^(pi*i)+1=0