[obm-l] Função contínua de irraciona is em racionais e vice versa

[Bruno França dos Reis <bfreis@xxxxxxxxx>]

Olá

Um amigo me propôs uma questão: construa uma função f definida em algum intervalo dos reais (ou em todos os reais) de forma que:
(i) f leva um irracional a um racional
(ii) leva um racional a um irracional
(iii) seja contínua em todos os pontos


É fácil construir uma que atenda às condições (i) e (ii). É fácil
também construir uma que atenda às condições (i) e (ii) e que seja
racional em uma quantidade finita (ou enumerável) de pontos.

Agora não sabíamos construir uma que fosse contínua em todos. Eu acho
que provei que não é possível. Seria possível alguém verificar a prova?

Tome a e b no intervalo em que f está definida, de forma que a seja um
racional e b seja irracional. Considere o intervalo definido por [f(a),
f(b)] (f(a) != f(b), obviamente), que está contido na imagem de f (pois
f é contínua). Então temos que todos os irracionais contidos no
interval [f(a),f(b)], isto é: [f(a),f(b)] inter (R - Q), devem ser
imagem de racionais no intervalo [a,b]. Seja g uma restrição de f aos
racionais do intervalo [a,b], com contradomínio igual ao conjunto de
todos os irracionais do intervalo [f(a),f(b)], que assume os mesmos
valores que f. Essa função g deve ser sobrejetora (pois tem que assumir
pelo menos uma vez cada valor irracional do intervalo [f(a),f(b)], que
é exatamente seu contradomínio). Então queremos construir uma função
sobrejetora de um conjunto enumerável em um conjunto não-enumerável, o
que não é possível (há "mais" irracionais que racionais, logo não há
valores suficientes no domínio de g para que possamos atingir todos os
valores do contradomínio). Então f também não pode assumir todos os
valores irracionais entre f(a) e f(b) somente a partir dos racionais
entre a e b. Logo não existe tal função f.

Tá certo issi aí?

Abraço
Bruno

-- 
Bruno França dos Reis
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