RES: [obm-l] matrizes (olimpiada)

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Bem, acho que nao eh tao trivial assim nao. A sua conclusao soh eh valida se A e B forem invertiveis, caso em que A^2 + B^2 = 2I.

 

De modo geral, temos que A(B - I) = 0, de modo que BA(B - I) = B(B-I) = 0. Analogamente, A(A-I) = 0 e, portanto, A(I - A) = 0. Assim, B^2 - B = A- A^2 =>  A^2 + B^2 = A + B, a conclusao mais interessante a que consegui chegar;.

 

Podemos tambem concluir que, se A for singular, entao det(A) = 0 e det(B) = det(B) * det(A)  = 0, de modo que B tambem eh singular. Em virtude da simetria das condicoes, se B for singular entao A eh singular, de modo que as matrizes A e B sao ambas singulares ou ambas invertiveis.

 

Temos ainda que A^2 + B^2 = (A+B)^2 - AB - BA = (A+B)^2 - (A+B), de modo   que chegamos a que (A+B)*(2I -(A+B)) = 0. Assim, pelo menos uma das matrizes A+B e 2I -(A+B) eh singular.

 

Artur

 

 

 

Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Luiz H. Barbosa
Enviada em: sexta-feira, 4 de novembro de 2005 11:52
Para: obm-l
Assunto: Re:[obm-l] matrizes (olimpiada)

 

Assunto: [obm-l] matrizes (olimpiada)

essa eh de uma olimpiada, esta na lista que o meu professor passou...

 

 AxB=A and BxA= B, A^2+B^2=?

 

 obrigado pela ajuda

 

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Será que é de olimpíada mesmo? Mas vou ajuda-lo a fazer o dever de casa com uma dica,

 

A^-1 x A = A x A^-1 = I .Tenta pensar na questão agora...

 

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