Re: [obm-l] DIVERSÃO PROBABILÍSTICA!

[leonardo maia <lpmaia@xxxxxxxxx>]

Claudio, é preciso introduzir uma segunda variável t (o tempo, discreto) para que a questão

> Um jogador lança uma moeda não viciada e marca um ponto cada vez que obtém
> uma cara e dois pontos quando obtém coroa. Qual a probabilidade do jogador
> marcar exatamente "n" pontos?

faça sentido. Você resolveu a recorrência

P(n) = (1/2)*P(n-1) + (1/2)*P(n-2)

como se essas probabilidades fossem definidas no mesmo instante, o que não é verdade. A equação correta é

P(n,t) = (1/2)*P(n-1, t-1) + (1/2)*P(n-2, t-1).

Se você introduzir uma função geradora (ou geratriz) g, pode obter uma
recorrência (em t) para g, resolvê-la, e descobrir que P(n,t) é zero,
se n<t ou n>2t, e que, para t <= n <= 2t, vale

P(n,t) = [(1/2)^t] . C(t, n-t).

[]'s, Leo.

On 11/3/05, Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:

on 03.11.05 11:27, Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis at
jorgelrs1986@hotmail.com wrote:

> Turma! Gostaria de dedicar esse singelo artigo ao "amigo postal" Chicão
> Valadares, por três motivos pessoais: primeiro, por ter sido o único que
> encaminhou minhas mensagens à lista na ocasião do meu afastamento; segundo,
> por ter veiculado meu retorno à mesma e terceiro, por ser um assunto que faz
> parte da sua "praia estatística".
>
> Existem bolas azuis e vermelhas em uma caixa. A probabilidade de sortear
> duas bolas de cores diferentes, ao retirar duas bolas ao acaso, é 1/2. Prove
> que o número de bolas na caixa é um quadrado perfeito.
>
a bolas azuis e v bolas vermelhas na caixa.
Bolas de mesma cor sao supostas indistinguiveis.

2 bolas de cores distintas podem ser retiradas de 2av maneiras
2 bolas podem ser retiradas de (a+v)(a+v-1) maneiras

Prob(2 bolas de cores distintas) = 2av/((a+v)(a+v-1)) = 1/2 ==>
a^2 + v^2 + 2av - a - v = 4av ==>
(a - v)^2 = a + v ==>
no. de bolas na caixa = a + v = quadrado perfeito

> Um jogador lança uma moeda não viciada e marca um ponto cada vez que obtém
> uma cara e dois pontos quando obtém coroa. Qual a probabilidade do jogador
> marcar exatamente "n" pontos?
>
P(n) = P(n|n-1)*P(n-1) + P(n|n-2)*P(n-2) = (1/2)*P(n-1) + (1/2)*P(n-2)
P(1) = 1/2  e  P(2) = 1/2 + 1/4 = 3/4

Eq. caracteristica: t^2 = (t+1)/2 ==> 2t^2 - t - 1 = 0 ==>
t = 1  ou  t = -1/2 ==>
P(n) = A + B*(-1/2)^n

P(1) = A - B/2 = 1/2
P(2) = A + B/4 = 3/4 ==>

A = 2/3   B = 1/3 ==>

P(n) = 2/3 + (1/3)*(-1/2)^n


> Jogamos 10 dados comuns (com 6 faces equiprováveis numeradas de 1 a 6).
> Calcule a probabilidade de que a soma dos 10 resultados seja igual a 20.
>
A probabilidade eh igual a N/6^10, onde:
N = coeficiente de x^20 na expansao de
(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^10


> Guilherme lançou uma moeda quatro vezes. A probabilidade de ele obter no
> mínimo tantas caras quanto coroas é ?
>
Supondo a moeda honesta, P(2, 3 ou 4 caras) = (6+4+1)/2^4 = 11/16.


> A propósito, quantos dados devem ser lançados ao mesmo tempo para maximizar
> a probabilidade de se obter exatamente um 2?
>
Lancemos N dados honestos.

Escolha do dado que vai dar 2: N
Escolha dos resultados dos outros N-1 dados: 5^(N-1)

Probabilidade = f(N) = N*5^(N-1)/6^N =

f'(N) = (5^(N-1)/6^N)*(1 + N*log(5/6)) = 0 ==>
N = 1/log(6/5) ~ 5,48

N = 5 e N = 6 dao a mesma probabilidade maxima, igual a (5/6)^5.


Acho que eh isso.


[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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