RES: [obm-l] inversa = derivada

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Estes sao fatos classicos da Analise. Se f for definida em um intervalo I de
R e tiver inversa, entao, pela definicao de inversa, temos que f eh uma
bijecao de I sobre f(I). Suponhamos que, alem disto, f seja continua. Se f
nao for estritamente crescente ou decrescente, entao em Item que existir
elementos x1 < x2 < x3 tais que f(x1) < f(x2 < f(x3) ou f(x1) > f(x2) >
f(x3). A continuidade de f implica que f apresente a propriedade do valor
intermediario, a qual, por sua vez, implica a existencia de x' em (x1, x2) e
x'' em (x2, x3) tais que f(x') = f (x''). Isto, porem, contraria o fato de
que f eh uma bijecao de I sobre f(I).

Para mostramos que se f eh diferenciavel em um ponto de acumulacao a de seu
dominio entao f eh continua em a, a prova que me parece a mais simples e que
eh apresentada em varios livros eh a seguinte:

Para x<>a num intervalo aberto contendo a, temos que f(x) - f(a) = (f(x) -
f(a))/(x-a) * (x-a). Quanfo x -> a, x - a -> 0. E pela diferenciabilidade de
f em a, segue-se da definicao de derivada que (f(x) - f(a))/(x-a) -> f'(a).
Considerando-se agora a existencia destes dois limites, temos (propriedade
basica dos limites de funcoes) que lim (x->a) (f(x) - f(a)) = lim (x - a)
(f(x) - f(a))/(x-a) * lim (x-> a) (x -a) = f'(a) * 0 = 0. Mas isto significa
que lim (x->a) f(x) = f(a), ou seja, f eh continua em a. Interessante que
este mesmo raciocinio aplica-se a funcoes dos complexos nos complexos.
Ahlfors apresenta esta mesma prova em seu livro sobre Analise Complexa. A
unica mudanca eh que, em vez de um intervalo ao redor de a, considera-se uma
vizinhanca - um disco, por exemplo - ao redor de a. 

Artur



      

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de David Cardoso
Enviada em: terça-feira, 25 de outubro de 2005 18:09
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RES: [obm-l] inversa = derivada


> Na minha outra mensagem sobre este assunto, faltou dizer que f eh
> estritamente monotonica porque, alem de ter uma inversa, eh continua, pois
> eh diferenciavel.
> Artur

Poderia demonstrar essa parte também?

Grato,
David



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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