Re:RES: [obm-l] inversa = derivada

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Mudemos o enunciado:

 

Dê um exemplo de uma bijeção diferenciável f:(0,+inf) -> (0,+inf) tal que:

f'(x) = f^(-1)(x) para todo x em (0,+inf).

 

É possível achar todas as f com esta propriedade?

 

[]s,

Claudio.

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:

Tue, 25 Oct 2005 16:39:45 -0200

Assunto:

RES: [obm-l] inversa = derivada

> De fato, o colega se equivocou.

>  

> Definida em todo o R, nao existe tal funcao. Supondo-se que esta f exista e seja definida em todo o R, temos que, por possuir uma inversa, f eh estritamente monotonica em R. Suponhamos que f seja monotonicamente crescente. Entao, f'(u) >= 0 para todo real u (1). Como f' eh a inversa de f, temos para todo x de R que f'(f(x)) = x (2). Mas, em virtude de (1), f'(f(x) >= 0 para todo real x, de modo que (2) nao pode ser atendida para x<0.

>  

> Se f for monotonicamente decrescente, entao por um raciocinio similar vemos que (2) nao pode ser atendida para x>0.

>  

> Se esta funcao existir, entao a condicao pedida so podera ser atendida ou para valores de x positivos ou valores de x negativos.

>  

> Artur

>  

>