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Re: [obm-l] SOMA(n = 1...inf) sen(n)/n
Tem outras formas de fazer. Mas uma possível é a
seguinte:
Considere a expansão em frações parciais da função:
f(x) = sin(x/Pi)/tan(x)
Usando métodos normais para obter-se frações parciais,
conclui-se que isso dá:
f(x)=g(x)+sin(1)/(x-Pi)-sin(1)/(x+Pi)+sin(2)/(x-2Pi)-sin(2)/(x+2Pi)....
->(1)
Onde g(x) é uma função inteira.
O problema é exatamente determinar g(x). Pensando um
pouco a respeito, e comparando com sin(x/Pi)/sin(x)
percebe-se que um bom chute é g(x)=cos(x/Pi). Eu fiz
uns testes numéricos em alguns pontos aleatórios e
parece que é converge corretamente. Deve haver,
certamente, um modo melhor de justificar g(x).
De qualquer modo, usando a expressão (1) e tomando o
lim f(x)x->0 = 1/Pi obtemos:
1/Pi = 1 - 2*(sin(1)/Pi + sin(2)/2Pi + sin(3)/3Pi...)
1/Pi = 1 - 2/Pi*S
2/Pi*S = 1-1/Pi
S = (Pi-1)/2
[]´s Demétrio
--- Demetrio Freitas
<demetrio_freitas_2002_10@yahoo.com.br> escreveu:
> Oi Cláudio e Niski,
>
> As questões mais legais são mesmo sempre as de
> enunciado curto...
>
> Com relação à série do Cláudio, visto que ela
> converge, falta dizer para qual valor....
>
> O meu chute é SOMA(n = 1...inf) sin(n)/n = (Pi-1)/2.
>
>
> []´s Demétrio
>
> É chute mesmo, porque eu não consegui deduzir o
> final
> da expansão. Mas é um chute "analítico", não
> numérico
> (se é que isto existe...)
>
>
> --- "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> escreveu:
>
> > Excelente! Matou o problema. Muito obrigado.
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> > De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> >
> > Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> >
> > Cópia:
> >
> > Data:Mon, 17 Oct 2005 20:45:30 -0200
> >
> > Assunto:Re: [obm-l] SOMA(n = 1...inf) sen(n)/n
> >
> > > Claudio, espero que este link
> > >
> >
>
http://web01.shu.edu/projects/reals/numser/answers/t_alter2.html
> > > possa ajudar.
> > >
> > > Um abraço
> > >
> > > claudio.buffara wrote:
> > > > Oi, pessoal:
> > > >
> > > > Estou com a seguinte dúvida:
> > > > A série SOMA(n = 1...inf) sen(n)/n converge?
> > > >
> > > > Mais geralmente, para que complexos z a série:
> > > > SOMA(n = 1...inf) exp(nz)/n é convergente?
> > > >
> > > > []s,
> > > > Claudio.
> > > >
> > >
> > >
> > > --
> > > Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
> > >
> > > "sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace
> made
> > use of it; shoud it
> > > be feared that sin^2(x) might become ambiguous,
> > which would perhaps
> > > never occur ... well then, let us write
> > (sin(x))^2, but not sin^2(X), which
> > > by analogy should signify sin(sin(x))"
> > >
> > > Carl Friedrich Gauss
> > >
> >
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