Quando os espaços vetorias são de dimensão FINITA eu compreendo bem o conceito de subespaço gerado. No caso de dimensão FINITA, sei que o subespaço gerado por S={a1,...,an} é constituido por todas as combinações lineares de elementos de S. Além disso, sei que este subespaço gerado é FECHADO e COMPLETO.
Agora, no caso de dimensão INFINITA, por exemplo L^{2}(|R) = {conjunto das funções mensuráveis com || f ||^{2}:=int_{-\infty}^{+\infty}{f^{2}dm} < +\infty).
Como é definido usualmente o subespaço gerado por uma coleção (não necessariamente enumerável) de elementos do L^{2}???
a) Conjunto das combinações lineares (FINITAS)? Neste caso o subespaço gerado É fechado mas NÃO É completo?
2) Conjunto das combinações lineares (FINITAS) e limites no L^{2} destas combinações??? Neste caso o subespaço gerado é fechado e completo (Como provar a completitude neste caso? Como provar que é fechado?).
OBS.: f_{n} tende para f no L^{2} se ||f_{n}-f || -> 0 quando n -> \infty ; a norma esta definida acima".
Grato por qualquer ajuda.
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