Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

[kleinad2@xxxxxxxxx]

Se vc está pensando no exemplo X que vai embolotando o n-ésimo racional
com intervalos abertos de raio eps/(2^(n+1)) (na verdade, o complementar
desse X), acho que basta pegar esse épsilon irracional; isso garante que
não teremos coisas do tipo (a,b) (b,c). Por outro lado, X é denso em R,
então qualquer intervalo aberto contendo um ponto z do complementar de X
irá conter pontos de X, o q pela sua estrutura implicaria que algum r_n
+ eps/(2^(n+1)) está nesse intervalo, e como com o eps irracional não caímos
no caso (a,b) (b,c), acho que dá pra garantir que esse ponto é diferente
de z.

[]s,
Daniel

 '>'-- Mensagem Original --
 '>'Date: Fri, 14 Oct 2005 07:47:49 -0300
 '>'Subject: Re:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
 '>'From: "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
 '>'To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
 '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'
 '>'
 '>'OK. E se quisermos medida positiva, interior vazio, fechado e sem pontos
 '>'isolados?  Repare que, no exemplo abaixo, podemos ter dois intervalos
abertos
 '>'da forma (a,b) e (b,c), de modo que b seria um ponto isolado do complementar
 '>'da união dos intervalos.
 '>'Será que dá pra escolher, para cada racional r_n, um intervalo aberto
I_n
 '>'tal que isso nunca ocorra?
 '>'
 '>'[]s,
 '>'Claudio.
 '>'
 '>'De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'
 '>'Para:obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'
 '>'Cópia:
 '>'
 '>'Data:Thu, 13 Oct 2005 17:23:02 -0300
 '>'
 '>'Assunto:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
 '>'
 '>'> basta tomar o complementardaquele exemplo que vc deu.O complementar
eh
 '>'fechado, tem interior vazio e medida infinita
 '>'> Artur
 '>'>
 '>'>
 '>'-----Mensagem original-----
 '>'De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome
 '>'de claudio.buffara
 '>'Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 14:04
 '>'Para: obm-l
 '>'Assunto: Re:RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
 '>'
 '>'
 '>'> E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal
conjunto
 '>'seja fechado?
 '>'>
 '>'> []s,
 '>'> Claudio.
 '>'>
 '>'> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'
 '>'> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'
 '>'> Cópia:
 '>'
 '>'> Data:Thu, 13 Oct 2005 12:13:18 -0300
 '>'
 '>'> Assunto:RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
 '>'
 '>'> > Na realidade, nos demos um exemplo ainda mais marcante: o de um
conjunto
 '>'aberto e denso em R mas com medida arbitrariamente proxima de zero.
 '>'> >
 '>'> > Um conjunto com medida infinita e interior vazio eh o dos irrracionais.
 '>'Se quisermos medida finita e positiva, tomemos os irrracionais em [0,
1],
 '>'Tem medida 1.
 '>'> >
 '>'> > A funcao de Thomae eh um exemplo de funcao continua so nos irracionais,
 '>'certo? f(x) = 0 se x for irracional,  f(x) =1 /n se x = m/n  for racional,
 '>'m e n>0 primos entre si.  Agora, eu quero ver alguem dar um exemplo
de funcao
 '>'continua nos racionais e descontinua nos irracionais.
 '>'> >
 '>'> > Considremos agora f(x) = x/2 + (x^2)*(sen(1/x) se x<>0 e f(x) =
0 se
 '>'x = 0. Entao f'(0) = lim (x -> 0) (x/2 + (x^2)*(sen(1/x)))/x = lim (x
->
 '>'0) 1/2 + x*sen(1/x) = 1/2 > 0.
 '>'> > Temos que 2*x*sen(1/x) => 0 quando x=> 0 e que, em qualquer intervalo
 '>'aberto do tipo (0, a), 1/2 + cos(1/x) passa infinitas vezes pelos valores
 '>'-1/2 e 3/2. de modo que, em qualquer intervalo contendo a origem, f
tem uma
 '>'infinidade de maximos e minimos relativos. Logo, f nao eh monotonica
em nenhum
 '>'destes intervalos.
 '>'> >
 '>'> > Isto ilustra que f'(a) >0)  nao eh condicao suficiente para que
a  seja
 '>'ponto de crescimento de f. Dizemos que a  eh ponto de crescimento de
f se
 '>'existir uma vizinhanca de a na qual f seja crescente.
 '>'> >
 '>'> > Artur
 '>'> >
 '>']  -----Mensagem original-----
 '>'De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome
 '>'de claudio.buffara
 '>'Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005 22:53
 '>'Para: obm-l
 '>'Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
 '>'
 '>'
 '>'> > Oi, pessoal:
 '>'> >
 '>'> > Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto denso em R e de
medida
 '>'nula. Isso me lembrou de outro problema parecido:
 '>'> >
 '>'> > Dê um exemplo de subconjunto de R com medida positiva e interior
vazio.
 '>'> >
 '>'> > Outros dois bonitinhos são:
 '>'> > Dê um exemplo de função real contínua nos irracionais e descontínua
nos
 '>'racionais.
 '>'> > e
 '>'> > Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo ponto, tal
que f'(0)
 '>'> 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo contendo a origem.
 '>'> >
 '>'> > No mais, alguém já descobriu por que um chicote estala quando é
usado?
 '>'> >
 '>'> > []s,
 '>'> > Claudio.
 '>'> >



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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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