RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Ontem foi dado um exemplo disto. O conjunto existe sim. Repetindo o exemplo
do Claudio. Seja {r_n} uma enumeracao qualquer dos racionais Para eps>0
arbitrariaments escolhido, seja I_n o intervalo aberto de centro em r_n e
raio eps/(2^(n+1)). Seja I = Uniao (I_n). Entao I eh aberto, denso em R
(pois contem os racionais) e, pela sub-adtividade da medida, temos que a
medida de I eh m(I) <= Soma m(I_n) = eps*Soma (1/2^n)  = eps.
Se I' eh o complementar de I, entao I' eh fechado, tem interior vazio (pois
I eh denso em R) e sua medida eh infinita (poir R tem medida infinita e m(I)
= 0).

Se quisermos exemplos com medida finita, basta tomar a uniao de I' com
compactos mensuraveis. Assim, I' inter [0,1] eh fechado, tem interior vazio
e sua medida eh 1.
Artur


-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de kleinad2@globo.com
Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 15:45
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio


 '>'E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal
conjunto
 '>'seja fechado?

Se entendi direito, vc quer um conjunto A na reta com interior vazio, medida
positiva (m(A) > 0) e que seja fechado. Neste caso, acho que tal conjunto
não existe; vai abaixo a minha tentativa de mostrar isso por absurdo.

Podemos supor que A está contido em [0,1], já que a interseção de A com
cada intervalo do tipo [n, n+1) com n inteiro dá uma soma disjunta
enumerável
igual a A, e como m(A) > 0, algum desses caras tem que ter medida positiva.

Seja X = (0,1) inter Ac (Ac = complementar de A). Segue que X é aberto,
e portanto X é decomposto como uma união enumerável disjunta de intervalos
do tipo I_n = (a_n, b_n), com a_n < a_(n+1). Se y está em (0,1) e b_n <
y < a_(n+1), pela definição de X e ordenação dos I_n temos necessariamente
que y está em A, logo [b_n, a_(n+1)] está contido em A. Sendo o interior
de A vazio, isso implica que b_n = a_(n+1). Da mesma forma, a_1 = 0, e do
fato de que o fecho de X é [0,1], temos que todo ponto de A é igual a algum
a_n ou b_n, e então A é enumerável, não podendo portanto ter medida
positiva.

[]s,
Daniel


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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