Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

Oi, Daniel:

Ou seja, você está dizendo que se (R - X) é uma união enumerável de intervalos abertos e é denso em R, então X é no máximo enumerável?

Eu tenho certeza de que você conhece um contra-exemplo famoso pra essa afirmação.

[]s,

Claudio.

De:

owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

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Data:

Thu, 13 Oct 2005 15:44:57 -0300

Assunto:

Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

> '>'E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal

> conjunto

> '>'seja fechado?

> Se entendi direito, vc quer um conjunto A na reta com interior vazio, medida

> positiva (m(A) > 0) e que seja fechado. Neste caso, acho que tal conjunto

> não existe; vai abaixo a minha tentativa de mostrar isso por absurdo.

> Podemos supor que A está contido em [0,1], já que a interseção de A com

> cada intervalo do tipo [n, n+1) com n inteiro dá uma soma disjunta enumerável

> igual a A, e como m(A) > 0, algum desses caras tem que ter medida positiva.

> Seja X = (0,1) inter Ac (Ac = complementar de A). Segue que X é aberto,

> e portanto X é decomposto como uma união enumerável disjunta de intervalos

> do tipo I_n = (a_n, b_n), com a_n < a_(n+1). Se y está em (0,1) e b_n <

> y < a_(n+1), pela definição de X e ordenação dos I_n temos necessariamente

> que y está em A, logo [b_n, a_(n+1)] está contido em A. Sendo o interior

> de A vazio, isso implica que b_n = a_(n+1). Da mesma forma, a_1 = 0, e do

> fato de que o fecho de X é [0,1], temos que todo ponto de A é igual a algum

> a_n ou b_n, e então A é enumerável, não podendo portanto ter medida positiva.

> []s,

> Daniel

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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

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