RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Na realidade, nos demos um exemplo ainda mais marcante: o de um conjunto aberto e denso em R mas com medida arbitrariamente proxima de zero.

 

Um conjunto com medida infinita e interior vazio eh o dos irrracionais. Se quisermos medida finita e positiva, tomemos os irrracionais em [0, 1], Tem medida 1.

 

A funcao de Thomae eh um exemplo de funcao continua so nos irracionais, certo? f(x) = 0 se x for irracional,  f(x) =1 /n se x = m/n  for racional, m e n>0 primos entre si.  Agora, eu quero ver alguem dar um exemplo de funcao continua nos racionais e descontinua nos irracionais.

 

Considremos agora f(x) = x/2 + (x^2)*(sen(1/x) se x<>0 e f(x) = 0 se x = 0. Entao f'(0) = lim (x -> 0) (x/2 + (x^2)*(sen(1/x)))/x = lim (x -> 0) 1/2 + x*sen(1/x) = 1/2 > 0.

Temos que 2*x*sen(1/x) => 0 quando x=> 0 e que, em qualquer intervalo aberto do tipo (0, a), 1/2 + cos(1/x) passa infinitas vezes pelos valores -1/2 e 3/2. de modo que, em qualquer intervalo contendo a origem, f tem uma infinidade de maximos e minimos relativos. Logo, f nao eh monotonica em nenhum destes intervalos.

 

Isto ilustra que f'(a) >0)  nao eh condicao suficiente para que a  seja ponto de crescimento de f. Dizemos que a  eh ponto de crescimento de f se existir uma vizinhanca de a na qual f seja crescente.

 

Artur 

]  -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de claudio.buffara
Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005 22:53
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

Oi, pessoal:

 

Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto denso em R e de medida nula. Isso me lembrou de outro problema parecido:

 

Dê um exemplo de subconjunto de R com medida positiva e interior vazio.

 

Outros dois bonitinhos são:

Dê um exemplo de função real contínua nos irracionais e descontínua nos racionais.

e

Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo ponto, tal que f'(0) > 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo contendo a origem.

 

No mais, alguém já descobriu por que um chicote estala quando é usado?

 

[]s,

Claudio.