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Re:[obm-l] Ajuda - Complexos - Trigonometria

 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
C�pia:
Data: Thu, 13 Oct 2005 10:13:14 +0000 (GMT)
Assunto: [obm-l] Ajuda - Complexos - Trigonometria
> Ol� Senhores !
>
> Estou com dificuldade para resolver um problema do
> livro do Morgado e do Manfredo Perdig�o, o livro da
> cole��o do IMPA, sobre complexos e trigonometria.
>
> Seja AnAm a dist�ncia entre os pontos An e Am.
> Seja o pol�gono regular de n lados, inscrito em uma
> circunfer�ncia de raio 1. Demonstre que:
>
> A1A2.A1A3.A1A4. ... .A1An = n
>
> Cheguei a rela��es trigonom�tricas interessantes,
> mas n�o consegui desenvolv�-las.
>
> Obrigado desde j� pela ajuda!
>
> Celso Faria de Souza
>
 
Esse � um cl�ssico...
 
As ra�zes da equa��o z^n - 1 = 0 (ra�zes n-�simas da unidade) s�o precisamente os v�rtices de um n-gono regular, centrado na origem do plano complexo e inscrito num c�rculo de raio 1. Uma dessas ra�zes � 1. As outras s�o w, w^2, ...., w^(n-1), onde w = cis(2pi/n).
 
Agora, z^n - 1 se fatora de duas maneiras distintas:
z^n - 1 = (z - 1)(z - w)(z - w^2)...(z - w^(n-1))
e
z^n - 1 = (z - 1)(z^(n-1) + z^(n-2) + ... + z + 1)
 
Isso quer dizer que:
(z - w)(z - w^2)...(z - w^(n-1)) = z^(n-1) + z^(n-2) + ... + z + 1
 
Tomando valores absolutos e fazendo z = 1 na identidade acima, voc� obt�m o resultado desejado.
 
Ali�s, outra maneira de fatorar z^n - 1 que d� origem a resultados interessantes leva em conta que w^k e w^(n-k) s�o complexos conjugados e, portanto, ra�zes de um polin�mio quadr�tico de coeficientes reais:
(z - w^k)(z - w^(n-k)) = z^2 - (w^k + w^(n-k))z + 1 =
z^2 - (2cos(2kpi/n))z + 1
 
Assim, se n � �mpar ==> n = 2m+1 ==>
z^n - 1 = (z - 1)*PRODUTO(k=1...m) (z^2 - (2cos(2pi/n))z + 1)
 
Se n � par ==> n = 2m ==>
z^n - 1 = (z - 1)*(z + 1)*PRODUTO(k=1...m-1) (z^2 - (2cos(2pi/n))z + 1)
 
Por exemplo, fazendo z = -i nessas identidades voc� obtem o valor (real) de um produto de cossenos.
 
[]s,
Claudio.