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[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda Polinômios.

Sim. Veja lá na minha msg original (ou então abaixo).
 
Aliás, a fórmula de Lagrange pode não constar do programa do ensino médio mas está certamente ao alcance de um aluno normal deste nível.
 
Dê uma olhada em http://mathworld.wolfram.com/LagrangeInterpolatingPolynomial.html
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Wed, 12 Oct 2005 10:43:51 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Ajuda Polinômios.
> Claúdio,
>
> A fórmula de interpolação de lagrange está acima do meu nível de
> escolaridade. Resolúvel de outra forma?
>
> Abraço,
> Roger.
> ----
>
> Em 11/10/05, Claudio Buffara escreveu:
> > on 11.10.05 00:27, Roger Lebid at roger.lbd@gmail.com wrote:
> >
> > > Bem pessoal estou com dificuldade em três questões de polinômios, acho
> > > que está faltando criatividade...
> > >
> > > ___
> > >
> > > 1) Determinar todos os polinômios p(x) satisfazendo a equação:
> > > (x-16)p(2x)=16(x-1)p(x) para todo x.
> > >
> > Estou supondo que trabalhamos sobre o corpo dos complexos.
> >
> > Se p(x) satisfaz, entao, para qualquer k complexo, k*p(x) tambem satisfaz.
> >
> > Assim, podemos supor que p(x) eh monico de grau n.
> > Comparando os termos de maior grau em cada membro, obteremos:
> > 2^n*x^(n+1) = 16*x^(n+1) ==> n = 4
> >
> > Assim, seja p(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d.
> >
> > (x-16)p(2x) = (x-16)(16x^4 + 8ax^3 + 4bx^2 + 2cx + d) =
> > 16(x^5 + (a/2-16)x^4 + (b/4-8a)x^3 + (c/8-4b)x^2 + (d/16-2c)x - d) =
> >
> > 16(x-1)p(x) = 16(x-1)(x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d) =
> > 16(x^5 + (a-1)x^4 + (b-a)x^3 + (c-b)x^2 + (d-c)x - d)
> >
> > Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau, obtemos:
> > a = -30, b = 280, c = -960, d = 1024
> >
> > Logo, p(x) = k*(x^4 - 30x^3 + 280x^2 - 960x + 1024), onde k eh um complexo
> > qualquer.
> >
> >
> > > 2)Se p(x) denota um polinômio de grau n tal que P(k) = k/ (k+1) , para
> > > k = 0,1,2,...,n, calcular o valor de P(n+1)
> > >
> > Sem usar nenhuma criatividade, basta usar a formula de interpolacao de
> > Lagrange...
> >
> > Por outro lado, a identidade (k+1)P(k) = k <==> (k+1)P(k) - k = 0 sugere que
> > consideremos o polinomio Q(x) = (x + 1)*P(x) - x, cujas raizes sao:
> > 0, 1, 2, ..., n.
> >
> > Ou seja, Q(x) = Ax(x-1)(x-2)...(x-n), onde A = constante a ser determinada.
> >
> > Q(-1) = (-1 + 1)P(-1) - (-1) = 1 ==>
> > A*(-1)^(n+1)*(n+1)! = 1 ==>
> > A = (-1)^(n+1)/(n+1)!
> >
> > Assim, Q(n+1) = A*(n+1)! = (-1)^(n+1) ==>
> >
> > (n+2)P(n+1) - (n+1) = (-1)^(n+1) ==>
> >
> > P(n+1) = (n + 1 + (-1)^(n+1))/(n + 2).
> >
> >
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> >