Re: [obm-l] Sist. Trigonometria

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Oi gente,

O enunciado do problema do IME (que dá a resposta
citada) é
> a senx - b cosx = (c/2)sen2x
> a cosx + b senx = c cos2x,
então vou fazer o problema com esse enunciado.

A idéia é encontrar a e b em função de c e x. Note que
isso é o mais simples visto que se tomarmos c e x como
parâmetros então temos um sistema linear em a e b. Dá
para resolver usando Cramer ou escalonamento, mas se
você notar que
 (a+bi)(senx+icosx)= asenx-bcosx + (acosx+bsenx)i
e que o inverso de senx + icosx é senx - icosx, temos
 a+bi = ((c/2)sen2x + ic cos2x)(senx - icosx)
      = (c/2)sen2x senx + c cos2x cosx
       + (c senx cos2x - (c/2)sen2x senx)i
de modo que
 a = (c/2)sen2x senx + c cos2x cosx
 b = c senx cos2x - (c/2)sen2x senx

Agora, já que sen2x = 2senx cosx e cos 2x = cos^2x -
sen^2x,
 a = c(sen^2x cosx + (cos^2x - sen^2x)cosx)
   = c cos^3x
 b = c(senx(cos^2x - sen^2x) - sen^2x cosx)
   = -c sen^3x,
ou seja,
  cosx = (a/c)^{1/3}
 -senx = (b/c)^{1/3}

Assim, de cos^2x + sen^2x = 1, conclui-se que
 (a/c)^{2/3} + (b/c)^{2/3} = 1
e o resultado c^2 = (a^{2/3} + b^{2/3})^3 segue.

[]'s
Shine

--- Luís Lopes <qed_texte@hotmail.com> wrote:

> Sauda,c~oes,
> 
> Alguém conseguiu resolver este?
> 
> []'s
> Luís
> 
> 
> From: Danilo Nascimento <souza_danilo@yahoo.com.br>
> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Sist. Trigonometria
> Date: Thu, 29 Sep 2005 11:13:48 -0300 (ART)
> 
> Obtenha uma relacao entre a, b e c, eliminando x
> entre as duas equacoes
> abaixo:
> 
> a senx - b cosx = 1/2 sen2x
> a cosx + b senx = c cos2x
> 
> gab: c^2 = (a^2/3 + b^2/3)^3
> 
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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