Re: [obm-l] Conjunto aberto e denso com medida < eps

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Só pra evitar ter que demonstrar um resultado bastante intuitivo pra
quem quiser tentar o problema, é bom lembrar que a medida de Lebesgue
satisfaz (como toda medida positiva que se preze) a desigualdade da
reuni~ao enumerável, ou seja:
m( Uniao de A_i ) <= Soma m(A_i), para uma seqüência A_i de conjuntos.

Dá pra provar isso usando a definiç~ao do Arthur, mas isso eu chamaria
de "um outro exercício" porque é bem usado em outras coisas.

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On 10/11/05, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
> Boa tarde,
>
> Eu acho este problema interessante:
>
> Sendo m a medida de Lebesgue, mostre que, para todo eps>0, existe um
> subconjunto A de R, aberto e denso em R, com m(A) < eps.
>
> O que eu acho interessante nesta conclusao eh que ela mostra que,
> contrariamente ao que talvez seja intuitivo, nao hah uma correspondencia
> entra a "significancia" de um conjunto sob os pontos de vista topologico e
> de medidas. Podemos encontrar conjuntos que sejam abertos e densos em R,
> logo topologicamente "significantes", mas cujas medidas possam ser
> arbitrariamente proximas de zero (embora nunca iguais a a zero).
>
> Por outro lado, o complementar de A, A', tem medida infinita e, no entanto,
> eh um fechado com interior vazio, logo seu fecho tem interior vazio. Assim,
> topologicamente A' nao eh "significante,"  visto ser um conjunto que nao eh
> denso em lugar nehum. Entretanto, A' tem medida infinita.
>
> Um outro exemplo mais simples e interessante e o conjunto dos racionais, que
> eh denso em R mas tem medida nula. Logo, sob o ponto de vists de medidas, eh
> um conjunto "insignificante".
>
> Lembrando, se A eh um subconjunto de R, entao, em [0, infinito], m(A) =
> infimo {Soma L(I_n) | In esta em C}, onde L(I_n) eh o comprimento do
> intervalo I_n e o infimo eh calculado considerando todas as coberturas
> enumeraveis de A compostas por intervalos abertos. A medida de um intervalo
> eh o seu comprimento.
>
> Artur
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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