[obm-l] Conjunto aberto e denso com medida < eps

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Boa tarde,

Eu acho este problema interessante:

Sendo m a medida de Lebesgue, mostre que, para todo eps>0, existe um
subconjunto A de R, aberto e denso em R, com m(A) < eps. 

O que eu acho interessante nesta conclusao eh que ela mostra que,
contrariamente ao que talvez seja intuitivo, nao hah uma correspondencia
entra a "significancia" de um conjunto sob os pontos de vista topologico e
de medidas. Podemos encontrar conjuntos que sejam abertos e densos em R,
logo topologicamente "significantes", mas cujas medidas possam ser
arbitrariamente proximas de zero (embora nunca iguais a a zero).   

Por outro lado, o complementar de A, A', tem medida infinita e, no entanto,
eh um fechado com interior vazio, logo seu fecho tem interior vazio. Assim,
topologicamente A' nao eh "significante,"  visto ser um conjunto que nao eh
denso em lugar nehum. Entretanto, A' tem medida infinita. 

Um outro exemplo mais simples e interessante e o conjunto dos racionais, que
eh denso em R mas tem medida nula. Logo, sob o ponto de vists de medidas, eh
um conjunto "insignificante".

Lembrando, se A eh um subconjunto de R, entao, em [0, infinito], m(A) =
infimo {Soma L(I_n) | In esta em C}, onde L(I_n) eh o comprimento do
intervalo I_n e o infimo eh calculado considerando todas as coberturas
enumeraveis de A compostas por intervalos abertos. A medida de um intervalo
eh o seu comprimento.

Artur
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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