Re: [obm-l] Dois Problemas Russos

["Paulo Santa Rita" <paulosantarita@xxxxxxxxxxx>]

Ola Eduardo !

O Polinomio P(X) e fixo. Claramente que voce pode supor que o grau dele e, 
digamos, M. O grau e fundamental na solucao. Sobre a outra pergunta, aqui 
vai um exemplo :

Suponhamos que P(12)=1200789. Entao : A12 = 1+2+0+0+7+8+9 = 27.

O indice n de An indica apenas a posicao na sequencia, vale dizer, nao 
guarda relacao com o grau do polinomio.

Apesar de ser uma questao simples e digno de nota que na epoca em que foi 
proposta as criancas da Russia apenas um estudante acertou completamente a 
questao : Ciprian Manolescu. Ele participou de 3 Olimpiadas Internacionais 
de Matematica, tirando 3 ouros, sempre com escore maximo de 42 pontos. Fez 
Doutorado em Harvard e atualmente faz estagio de pos-doc em Princeton. Ele e 
Cinefilo, na Musica e apaixonado por Beethoven e Adora ( estuda diariamente 
) Filosofia.

Nao me lembro desta questao de poligonais. Voce pode me enviar novamente, 
por favor ?

Um Abracao
Paulo Santa Rita
3,1305,111005

>From: Eduardo Wilner <eduardowilner@yahoo.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Dois Problemas Russos
>Date: Tue, 11 Oct 2005 12:35:16 -0300 (ART)
>
>
>
>
>   Ola Paulo
>
>   Curiosidade: o meu yahoo eh super relativistico?!
>tua mensagem chegou com data: Tue, 11 Oct 2005
>14:07:45?!    e agora, "hora Brasilia" eu tenho 12:08.
>
>   Vamos aos russos.
>   O primeiro Problema eh tao generico assim? Digo, nao
>depende do grau do polinomio ou o n, no indice de An,
>eh o grau? O que significa a "Soma dos digitos de
>P(N)?
>
>   "Eh pergunta demais"? (mais uma).
>
>   []s
>
>  P.S. Ainda estou no agurardo de sua resposta sobre os
>problemas das poligonais.
>
>
>
>
>--- Paulo Santa Rita <paulosantarita@hotmail.com>
>escreveu:
>
> > Ola Pessoal,
> >
> > Seguem dois problemas traduzidos das Olimpiadas
> > Russas :
> >
> > PROBLEMA 1) Seja P(X) um polinomio com coeficientes
> > inteiros e para todo
> > numero natural N seja An a SOMA DOS DIGITOS de P(N).
> > Prove que na sequencia
> > A1, A2, A3, ... ha um numero que se repete infinitas
> > vezes.
> >
> > PROBLEMA 2) Dados os numeros reais A1, A2, ..., An,
> > B1, B2, ..., Bn e os
> > números reais positivos P1, P2, ..., Pn, Q1, Q2,
> > ..., Qn. Com estes numeros
> > construimos uma matriz N x N onde na posicao (i,k)
> > colocamos o número :
> >
> > (Ai + Bk ) / (Pi + Qk)
> >
> > Prove que existe um numero na matriz que construimos
> > ( "NUMERO SELA" ) com a
> > seguinte propriedade : ele nao e menor que qualquer
> > outro de sua linha e nao
> > e maior que qualquer outro de sua coluna.
> >
> > OBS1 : Apesar de nao ser possivel fazer um paralelo
> > rigoroso entre o ensino
> > russo e o nosso, eu diria que estas questoes
> > poderiam ser propostas nas
> > nossas Olimpiadas para a 7/8 series. Evidentemente
> > que nao se pode usar
> > Calculo Diferencial na solucao.
> >
> > OBS2 : A traducao e minha. Qualquer erro e de minha
> > inteira
> > responsabilidade. Qualquer duvida e so ler
> > diretamente do idioma eslavo.
> >
> > Mais problemas russos em :
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> >
> > Um Abraco a Todos
> > Paulo Santa Rita
> > 3,1100,111005
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