Re: [obm-l] sequencia sem subseq. convergentes

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Bom, talvez eu esteja enviando a soluç~ao "n~ao-evidente", mas como eu
acho que ela vale a pena, (e talvez porquê eu também ache que ela n~ao
é t~ao estranha assim, pensando em Séries de Fourrier), lá vai:

Como eu sei que você gosta de medida etc, vamos para L^2[0,2pi]. É um
fato "bem-conhecido" que estas funç~oes formam uma base para este
espaço, com a convergência L^2 e o produto interno \int_0^2pi
f^*(x)g(x)dx (integral de 0 a 2pi do conjugado de f vezes g). Ora, é
claro que n~ao podemos ter uma seqüência ortonormal que convirja,
ent~ao (como toda subseqüência de sen(n*x) também forma uma seqüência
ortonormal) sabemos que sen(n*x) n~ao converge na norma L^2. Agora, um
pouco de teoria da medida nos diz que, sendo todas elas limitadas e
integráveis neste intervalo (ou seja, em L^1), limitadas uniformemente
pela funç~ao 1, se uma subseqüência convergisse pontualmente para
algum lugar (digamos g(x), que é limitada e mensurável pois todas s~ao
uniformemente limitadas por 1 e mensuráveis), logo está em L^2), pelo
teorema de Convergência Dominada,
\int_0^2pi | (sin(k_n*x) -g) - (sin(k_m*x)-g) |^2 dx convergiria para
zero (use ConvDom para cada metade mais desigualdade triangular na
integral com eps/2).
Mas isso é exatamente || sin(k_n*x) - sin(k_m*x) ||_2 (norma L^2), que
nós sabemos que vale \sqrt(2), pois eles s~ao ortogonais, e assim n~ao
pode convergir pra zero. (isso é basicamente f_n -> f pontualmente, f
está em L^1 => f_n -> f em L^1 adaptado pra L^2 e com a
contrapositiva...)

Resta mostrar que estas funç~oes s~ao realmente ortogonais em L^2, o
que é uma tarefa de integraç~ao: calculemos \int_0^2pi
sin(n*x)sin(m*x) dx para m != n

I = \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m/n \int_0^2pi cos(n*x)cos(m*x)
dx = m^2/n^2 \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m^2/n^2 I (2 vezes por
partes)
Logo I(1 - m^2/n^2) = 0, o que diz que I = 0

Bom, parece longo, mas a idéia básica é a seguinte (tipo "resumindo"):
sin(n*x) é ortonormal em L^2, logo n~ao converge pra lugar nenhum.
Como convergência pontual + limitaç~ao implica convergência L^2, n~ao
pode convergir pontualmente. O resto é detalhe.

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On 10/10/05, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
> Este problema eh interessante, e a unica prova que conheco nao eh muito
> evidente. Talvez haja uma solucao mais simples:
>
> Mostre que a sequencia de funcoes (sen(n*x)), n=1,2,3....., x em [0, 2*pi],
> nao contem nenhuma sub sequencia convergente em todo este intervalo.
>
> Artur
>
> O interessante eh que temos uma sequencia uniformemente limitada de funcoes
> continuas, definidas em um conjunto compacto, e que mesmo assim nao tem
> nenhum asubsequencia convergente.
>
> Artur
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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