Re: [obm-l] equações diofantinas

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] equações diofantinas

on 07.10.05 15:48, William Mesquita at williammesquita@hotmail.com wrote:

> alguem poderia me alguma dica sobre como esolver essas equações diofantinas 
>
>
> 1/a + 1/b + 1/c = 1 
>
>
> Suponhamos inicialmente que 0 < a <= b <= c.
>
> Nesse caso, a <= 3, pois se a >= 4, entao:
> 1/a + 1/b + 1/c <= 1/a + 1/a + 1/a <= 3/4.
>
> a = 2 ==> 1/b + 1/c = 1/2 ==> (b,c) = (3,6) ou (4,4)
> Nao ha outras solucoes pois se b > 4, entao 1/b + 1/c < 1/2.
>
> a = 3 ==> 1/b + 1/c = 2/3 ==> (b,c) = (3,3)
> Nao ha outras solucoes pois se b > 3, entao 1/b + 1/c < 2/3.
>
> -----
>
> Se a < 0 < b <= c, entao 1/b + 1/c = 1 - 1/a > 1.
> Mas 1/b + 1/c > 1 <==> b = 1 <==> c = -a.
> Assim, as unicas solucoes sao da forma:
> (a,b,c) = (-n,1,n) com n inteiro positivo.
>
> -----
>
> Se a <= b < 0 < c, entao 1/c = 1 - 1/a - 1/b > 1 ==>
> impossivel.
>
> Assim, supondo que a <= b <= c, as solucoes (a,b,c) sao:
> (2,3,6), (2,4,4), (3,3,3) e (-n,1,n) com n inteiro positivo.
>
> As demais solucoes sao obtidas permutando a, b e c.
>
>
> ***
>
> x^3 + 3 = 4y(y+1)  ==>
>
> x^3 + 4 = 4y^2 + 4y + 1 = (2y + 1)^2 ==>
> x^3 = (2y + 1)^2 - 2^2 = (2y - 1)(2y + 3)
>
> Mas mdc(2y - 1,2y + 3) = mdc(2y - 1,4) = 1 ==>
> 2y - 1  e  2y + 3 sao ambos cubos perfeitos impares que diferem de 4 ==>
> contradicao, pois dois cubos perfeitos impares diferem de pelo menos 26 
> (=3^3 - 1^3)
>
> Logo, esta equacao nao tem solucao.
>
>
> []s,
> Claudio.