Re: [obm-l] Recorrência

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2003@xxxxxxxxxxxx>]

Eureka! 9 (artigo do Pollman) e Eureka! 15(artigo do
Tengan).
www.obm.org.br

--- Júnior <jssouza1@gmail.com> escreveu:

> Comecei a estudar isso a pouco tempo, seguindo
> pequenas anotaçoes feitas
> pelo meu prof de um pequeno curso que estou fazendo.
> Quais são os bons
> livros q tratam disso ?
> 
> Júnior.
> 
> Em 01/10/05, Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com>
> escreveu:
> >
> > Oi gente,
> >
> > Bom, primeiro, pelo que entendi, a equação de
> > recorrência é
> > a_n = 2*a_{n-1}*cos(b) - a_{n-2}.
> > Certo?
> >
> > Tem uma maneira mais sistemática para resolver
> essas
> > recorrências, mas esse em particular dá para fazer
> por
> > indução.
> >
> > O meu chute é que a_n = cos(nb). De fato, supondo
> por
> > indução que tal fato é verdadeiro para n=k-1 e
> n=k,
> > temos
> > a_{k+1} = 2*a_k*cos(b) - a_{k-1}
> > = 2*cos(kb)*cos(b) - cos((k-1)b)
> >
> > Lembrando que 2*cos(a)*cos(b) = cos(a+b) -
> cos(a-b),
> > temos
> > a_{k+1} = cos(kb + b) + cos(kb - b) - cos(kb - b)
> > = cos((k+1)b)
> >
> > Observando ainda que a base de indução está nos
> > valores iniciais n=1 e n=2 (precisamos de dois
> valores
> > consecutivos para essa indução!), o resultado
> segue
> > por indução.
> >
> > A maneira "canônica" de resolver recorrências
> desse
> > tipo (ou seja, a_n = c*a_{n-1} + d*a_{n-2}, sendo
> que
> > c e d não dependem de n), é a seguinte: a equação
> > característica da recorrência
> > a_n = 2*a_{n-1}*cos(b) - a_{n-2}.
> > é obtida "trocando subscrito por expoente":
> > x^n = 2*x^{n-1}*cos(b) - x^{n-2}
> >
> > Soluções nulas dessa equação não nos interessam.
> > Assim, queremos na verdade as raízes da equação
> > x^2 = 2*cos(b)*x - 1
> > <=>x^2 - 2*cos(b)*x + 1 = 0,
> > que são x_1 = cos(b)+i*sen(b) e x_2 =
> cos(b)-i*sen(b)
> > (sim, valem raízes complexas!). Assim, pode-se
> provar
> > que
> > a_n = c_1(x_1)^n + c_2(x_2)^n,
> > sendo c_1 e c_2 constantes (nesse caso, algo que
> não
> > depende de n). Para achar tais constantes, basta
> > resolver o sistema linear obtido quando
> substituímos n
> > por 1 e 2, por exemplo:
> > n=1: cos(b) = c_1(cos(b)+i*sen(b))
> > + c_2(cos(b)-i*sen(b))
> > n=2: cos(2b) = c_1(cos(2b)+i*sen(2b))
> > + c_2(cos(2b)-i*sen(2b))
> >
> > Aqui, utilizamos a fórmula de deMoivre: para n
> > inteiro,
> > (cos(b)+i*sen(b))^n = cos(nb)+i*sen(nb),
> > de modo que
> > a_n = c_1(cos(nb)+i*sen(nb))
> > + c_2(cos(nb)-i*sen(nb))
> >
> > Resolvendo o sistema chegamos em c_1 = c_2 = 1/2 e
> > fazendo as contas, chegamos em a_n = cos(nb).
> >
> > []'s
> > Shine
> >
> > --- Júnior <jssouza1@gmail.com> wrote:
> >
> > > Alguém poderia resolver essa recorrência ?
> > > a_n = 2(cos b)a_n-1 - a_n-2 , para n >= 3 ,
> a_1=cos
> > > b , a_2 = cos 2b
> > >
> > > Júnior.
> > >
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