[obm-l] Segundo dia - XX Ibero

[yurigomes@xxxxxxxxxxxxxx]

Estou enviando agora os problemas do segundo dia. Ainda nao sei como os
meninos foram pq desde depois do almocco eles estao na prova por equipes
e nem chegaram a voltar pro hotel.

O problema 5 é do Brasil (meu e do Davi). =)) 

PROBLEMA 4
Dados dois inteiros positivos a e b, denota-se por (a mod b) o resto da
divisao de a por b, que é um dos números 0,1, ..., b-1. Determine todos
os pares de números (a,p) tais que p é primo e 
 
(a mod p) + (a mod 2p) + (a mod 3p) + (a mod 4p) = a + p.
 
PROBLEMA 5
Seja O o circuncentro de um triangulo acutangulo ABC e A_1 um ponto do arco
menor BC da circunferencia circunscrita ao triangulo ABC. Sejam A_2 e A_3
pontos dos lados AB e AC, respectivamente, tais que vale a igualdade de
angulos
BA_1A_2 = OAC    e    CA_1A_3 = OAB. 
Demonstre que a reta A_2A_3 passa pelo ortocentro do triangulo ABC.
 
PROBLEMA 6
Dado um inteiro positivo n, num plano consideram-se 2n pontos alinhados
A_1, A_2, ..., A_2n. Pinta-se cada ponto de azul ou vermelho de acordo com
o seguinte procedimento:
no plano dado sao traccadas n circunferencias disjuntas duas a duas, com
diametros de extremos A_i e A_ j. Cada A_k, 1 <= k <= 2n, pertence exatamente
a uma circunferencia. Os pontos sao pintados de modo que dois pontos de
uma mesma circunferencia ficam com a mesma cor.
Determine o numero de coloraccoes distintas dos 2n pontos que se podem obter
ao variar as n circunferencias e a distribuiccao das duas cores.
 
Abraccos,
 
Yuri
 


-- Mensagem original --

>Oi pessoal,
>
>Estou trazendo notícias da Ibero. 
>
>Nossa viagem foi um pouco complicada. Qdo chegamos no aeroporto de Guarulhos
>descobrimos que nosso voo, que partiu de RJ, teria uma troca para uma aeronave
>menor, e isso causou um overbooking enorme. 
>
>Entao todos que partiam de SP, eu, Gabriel, Thiago e Rafael, tivemos que
>arranjar outros voos. O Thomaz acabou indo no voo certo, pq saiu de RJ.
>
>Nós fomos para Santiago, dormimos lá, e no outro dia seguimos viagem para
>Bogotá, e por fim Cartagena. Pelo menos íamos chegar um dia antes, entao
>todos puderam descansar bem.
>
>Sobre a prova: o 1o dia foi ontem, e o 2o está acontecendo nesse instante.
>Segue abaixo a prova de ontem:
>
>PROBLEMA 1
>Determine todas as ternas de números reais (x,y,z) tais que
>xyz = 8  ,
>x^2y + y^2z + z^2x = 73  ,
>x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2 = 98.
>
>PROBLEMA 2
>Uma pulga salta sobre pontos inteiros da reta numérica. Em seu primeiro
>movimento ela salta do ponto 0 ao ponto 1. Em seguida, se em um movimento
>ela salta do ponto A e cai no ponto B, entao no proximo movimento ela salta
>do ponto B e cai em um dos pontos
>B + (B-A) - 1  ,  B + (B-A)  ,  B + (B-A) + 1 .
>
>Mostre que se a pulga caiu duas vezes sobre o ponto n, n inteiro positivo,
>entao ela fez pelo menos t movimentos, onde t é o menor inteiro maior ou
>igual a 2.n^(1/2).
>
>PROBLEMA 3
>Seja p>3 um primo. Se
>\sum_{i=1}^{p-1} 1/(i^p) = n/m,
>
>onde mdc(n,m)=1, mostre que p^3 divide n.
>
>Como foram os meninos: parece que todos fizeram o 1 e 3 bem rápido, e ficaram
>o resto da prova no 2. O Gabriel e Rafael conseguiram fazer, o Thomaz acho
>que chegou relativamente perto e o Thiago nao fez muita coisa. 
>
>Hj comecaremos a correccao. Qto já tivermos algo certo enviaremos pra vcs.
>
>Abraccos,
>
>Yuri
>
>
>
>Até mais, 
>
>Yuri
>
>
>
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>

Até mais, 

Yuri




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