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Re: [obm-l] Problemas de Teoria de Numeros

Eu errei quando disse que "p divide ambos". Supondo p ímpar, teremos:
p divide p! mas não divide (p-1)! - 1, pois o teorema de Wilson diz que p divide (p-1)! + 1 e não que p divide (p-1)! - 1.
Conclusão: conforme o resto do meu argumento original, nenhum primo divide ambos, o que implica que o mdc é 1.
Se p = 2, o mdc é 2.
 
No mais, a divide a^fi(b) e b divide b^fi(a), pois fi(x) >=1 para todo x inteiro positivo. Logo ab divide a^fi(b)*b^fi(a).
 
[]s e desculpe o deslize na 2a. questão.
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Wed, 28 Sep 2005 11:04:12 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Problemas de Teoria de Numeros
> Eu não entendi porque o Cláudio Buffara deu a solução abaixo pra questão
> "Encontrar o máximo divisor comum de (p-1)!-1 e p!, com p primo" e a
> resposta do Marcelo Rufino deu diferente? Tem alguma razão? Onde está o
> erro?
>
> -- Resposta do Cláudio Buffara
> p divide ambos e, além disso, p^2 não divide p!.
> Qualquer primo maior do que p não divide p!
> Qualquer primo menor do que p não divide (p-1)! - 1.
> Logo, mdc = p.
>
> -- Resposta do Marcelo Rufino
> Seja d = mdc [(p - 1)! - 1, p!] => d | (p - 1)! - 1 e d | p! =>
> d | p[(p - 1)! - 1] - p! => d | - p => d = 1 ou d = p
> Entretanto, pelo teorema de Wilson, temos que (p - 1)! = - 1 (mpd. p),
> ou seja, (p - 1)! - 1 = - 2 (mod. p), ou seja, p não divide (p - 1)! - 1.
> Logo, a única possibilidade é d = 1.
>
> Abraços,
> Aldo
>
> Marcelo Rufino wrote:
>
> > As soluções de algumas das questões seguem abaixo.
> >
> >> Pessoal, estou com alguns problemas de Teoria de Números que não sei
> >> como resolver.
> >>
> >> 1. Provar que para p primo (p-1)!=p-1 (mod 1+2+3+...+(p-1))
> >> 2. Encontrar o máximo divisor comum de (p-1)!-1 e p!, com p primo.
> >
> >
> > Seja d = mdc [(p - 1)! - 1, p!] => d | (p - 1)! - 1 e d | p!
> > => d | p[(p - 1)! - 1] - p! => d | - p => d = 1 ou d = p
> > Entretanto, pelo teorema de Wilson, temos que (p - 1)! = - 1 (mpd. p),
> > ou seja, (p - 1)! - 1 = - 2 (mod. p), ou seja, p não divide (p - 1)! - 1.
> > Logo, a única possibilidade é d = 1.
> >
> >> 3. Mostrar que para n>=4 o resto da divisão por 12 de 1!+2!+3!+...+n!
> >> é 9.
> >
> >
> > Como para n >= 4 temos que 12 | n!, então o resto da divisão de
> > 1!+2!+3!+...+n! por 12 é igual ao resto da divisão de 1! + 2! + 3! = 9
> > por 12, que vale 9.
> >
> >> 4. Mostrar que para todo n inteiro 3n^2-1 nunca é um quadrado.
> >
> >
> > Observe que:
> > (3x)^2 = 9x^2 = 3k,
> > (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 = 3(3x^2 + 2x) + 1 = 3k + 1,
> > (3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4 = 3(3x^2 + 4x + 1) + 3 = 3k + 1
> > Logo, todo quadrado perfeito deixa resto o ou 1 na divisão por 3. Como
> > 3n^2 - 1 deixa resto 2 na divisão por 3 então não pode ser quadrado
> > perfeito.
> >
> >> 5. Mostrar que 5n^3+7n^5=0 (mod 12) para todo n.
> >> 6. Seja f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n um polinômio com coeficientes
> >> inteiros onde a_n>0 e n>=1. Mostrar que f(x) é composto para
> >> infinitos valores da variável x.
> >> 7. Mostrar que para a e b inteiros, com (a, b)=1 temos
> >> a^fi(b)+b^fi(a)=1 (mod ab)
> >
> >
> > Até mais,
> > Marcelo Rufino
> >
> >
> >
> >>
> >> Será que alguém pode me ajudar a resolvê-los?
> >>
> >> Obrigado,
> >>
> >> Aldo.
> >>
> >> =========================================================================
> >>
> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >> =========================================================================
> >>
> >>
> > =========================================================================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > =========================================================================
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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