Re: [obm-l] Curva de Koch

["Maurício" <briqueabraque@xxxxxxxxx>]

  Paulo,

  Eu concordo com a sua solução. Acho que dá a
impressão de que a curva é finita porque ela fica toda
enrolada, como uma parede de intestino, e delimita um
espaço finito, que é a área. Aí vai minha tentativa
para An (área no estágio n):
  Para todas as séries, os índices se referem ao
estágio. O primeiro índice é o 1 (o estágio 0, com
apenas um triângulo, não entra nas séries).

s = área de cada triângulo "acrescentado" no estágio
s = a/9 , a/9^2 , a/9^3 ...
a = área de um triângulo equilátero de lado 1

nt = número de triângulos acrescentados no estágio
nt = 3 , nl(1) , nl(2) , nl(3) ...
nl = número de lados
nl = 3*4 , 3*4^2 , 3*4^3 ...
nt = 3 , 3*4 , 3*4^2

ss = área acrescentada no estágio
ss(i) = s(i)*nt(i)
ss = a/3 , (a/3)*(4/9) , (a/3)*(4/9)^2 , (a/3)*(4/9)^3
...

A(n) = a + somatório de ss(i) para i=1 até n
A(n) = a + f(1-r^n)/(1-r)
com f = a/3 , r = (4/9)

Limite de A para n=infinito:
lim An = a + (a/3)(1-0)/(5/9) = a + (9a)/15
lim An = (8/5)a

  Abraços,
  Maurício

> Saudações ao pessoal da Lista. (...)
>  A Curva de Koch é obtida em estágios pelo processo
> seguinte:
> i) No estágio 0, ela é um triângulo equilátero de
lado 1.
> ii) O estágio n+1 é obtido a partir do estágio n,
dividindo cada lado em três partes iguais, construindo
externamente sobre a parte central um triângulo
equilátero e suprimindo então a parte central. Sendo
Pn e An respectivamente o perímetro e a área no
n-ésimo estágio da curva de Koch, determine:
> a) Pn b) An c) lim Pn d) lim An
>(...)
>  Estou encontrando como resposta Pn = 3.(4/3)^n, mas
> aparentemente o 
> perímetro dessa curva é limitado!!. Daí o motivo da
> minha dúvida.
>  Abraços à todos
> 




		
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