RES: RES: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Prezado Gugu

De fato, S e o conjunto das sequencias limitadas de inteiros positivos,
houve um engano meu. 
Legal o seu exemplo. Muito obrigado
Artur

   Caro Artur,
   S tem que ser um conjunto de seqüências limitadas de naturais, não ? Vale
a
pena supor que são seqüências de inteiros positivos, ou pelo menos que têm
infinitos termos não nulos. Dá para provar que nesse exemplo os elementos de
A
são transcendentes por serem números de Liouville (todos os números de
Liouville são transcendentes). Um número de Liouville é um real c tal que
para
todo n existem infinitos racionais p/q com |c-p/q|<1/q^n. Um número
algébrico
nunca é de Liouville: se f é um polinômio de grau n com coeficientes
inteiros
tal que f(c)=0, existe K>0 tal que |f´(x)|<=K para todo x em [c-1,c+1]. Por
outro lado, se p/q é diferente de c e está muito perto (em particular a uma
distância menor que 1) de c então f(p/q) é um racional não nulo que pode ser
escrito como um inteiro dividido por q^n, e logo |f(p/q)|>=1/q^n. Por outro
lado, pelo teorema do valor médio, existe d entre c e p/q com
f(p/q)=f(p/q)-f(c)=f´(d).(p/q-c), donde
1/q^n<=|f(p/q)|=|f(p/q)-f(c)|=|f´(d)|.|p/q-c|<=K.|p/q-c|. Assim, temos
sempre
|c-p/q|>=1/(K.q^n), e não existem, por exemplo, infinitos racionais p/q com
|c-p/q|<1/q^(n+1) (pois teríamos necessariamente |q|<K, além de |c-p/q|<1).
Os elementos de A no exemplo são números de Liouville, pois, se todos os
a(k)
são inteiros positivos limitados por K, somando a série até o n-ésimo termo,
obtemos um racional com denominador 2^(n!) cuja distância ao valor da série
infinita é positiva é menor que 2.K/2^((n+1)!), que é muito menor que
(1/2^(n!))^n.
   Eu tinha outro exemplo (que, pensando bem, não é tão diferente assim
desse):
o conjunto A dos números que, quando escritos em base 2, têm infinitos bits
iguais a 1, mas, se f(n) é o número de bits iguais a 1 dentre os n primeiros
bits de um elemento de A, então f(n)=o(n), isto é,
lim(n->infinito)(f(n)/n)=0.
   Abraços,
             Gugu


   Acho que eu tenho outro exemplo: seja
Quoting Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>:

> Nesta solucao, a base apontada pelo Daniel eh o que se chama de base de
> Hamel?
> Nenhuma base de R sobre Q popde ser enumeravel, certo?
>
> Sobre este assunto, especificamente sobre a questao levantada pelo
Nicolau,
> no sentido de efetivamente construirmos o conjunto, eu encontrei na
internet
> uma solucao proposta por um matematico americano, que nao sei dizer dizer
se
> eh correta:
>
>
> Sendo S a colecao de todas as sequencias limitadas de R, entao, segundo o
> matematico, o conjunto A = {Soma(k=1 a oo) a(k)/(2^(k!) | sequencia {a(k)}
> pertence a S} satisfaz ao desejado. Eh facil ver que A nao eh enumeravel
e
> que eh fechado com relacao aa soma. O matematico afirma que o Liouville's
> Approximation Theorem , Teorema da Aproximação de Liouvile,  implica que
os
> elementos de A sejam transcendentes, logo irracionais (nao foi apresentada
> prova desta afirmacao). Se o matematico estiver certo, entao temos de fato
> um conjunto construido explicitamente sem recorrer ao axioma da escolha.
>
> Artur
>
>
>
>
>
>
>
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
> nome de Nicolau C. Saldanha
> Enviada em: sexta-feira, 12 de agosto de 2005 09:22
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma
>
>
> On Thu, Aug 11, 2005 at 09:28:31PM -0300, kleinad2@globo.com wrote:
> >  '>'Encontre um conjunto de irracionais que nao seja enumeravel e seja
> fechado
> >  '>'com relacao aa soma
> >
> > Observe que se V é um espaço vetorial de dimensão enumerável sobre Q
> > (racionais), então V é isomorfo ao espaço dos polinômios em uma variável
> > sobre Q, e,
> > portanto, V é enumerável. Em particular, a dimensão de R (reais) sobre Q
> > é não-enumerável.
> >
> > Seja B* uma base de R sobre Q contendo o 1, e seja B = B*\{1}.
>
> Esta solução (correta) usa o axioma da escolha para obter a base e
portanto
> o conjunto obtido no final não é dado explicitamente.
>
> Uma pergunta que eu nao sei reponder:
>
> É possível responder a pergunta original com a interpretação de que
> "encontre" significa "construa" ou "descreva explicitamente"
> (sem usar o axioma da escolha)?
>
> []s, N.
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