Re: [obm-l] Convergencia e ponto fixo

[Salvador Addas Zanata <sazanata@xxxxxxxxxx>]

Oi Bruno,

Nao li a sua sol., que deve estar certa, mas e so pensar que como phi eh
continua, tome o limite n tendendo a infinito dos dois lados:

xn+1=phi(xn)

Da

a=phi(a), pois phi eh continua e se xn converge para a, entao xn+1 tbem
converge para a.

Abraco,

Salvador


On Thu, 8 Sep 2005, Bruno França dos Reis wrote:

> Oi, gente.
> Eu tava fazendo minha lista de cálculo numérico, quando chego a este
> exercício:
>
> Prove ou dê um contra-exemplo:
> Se phi é uma função contínua definida nos reais, e a sequência x[n+1] =
> phi(x[n]) converge, então x[n] converge para um ponto fixo de phi.
>
> Acredito que seja verdade. Aqui vai minha demo:
>
> Se x[n] converge, podemos dizer que converge a um numero a. Isto é
> equivalente a: Para todo delta > 0, existe N natural tq n > N ==> |x[n] - a|
> < delta.
> Pela continuidade de phi, temos: para todo eps > 0, existe delta > 0, que
> podemos tomar delta < eps, tal que x \in [a - delta, a + delta] ==> |phi(x)
> - phi(a)| < eps.
> Podemos escrever que phi(a) = a + c, para algum c real. Então temos:
> Para todo eps > 0, existe delta, 0 < delta < eps, e existe N natural, tal
> que:
> n > N ==> |x[n] - a| < delta <==> x[n] \in [a - delta, a + delta] ==>
> |phi(x[n]) - phi(a)| < eps <==>
> <==> |x[n+1] - (a + c)| < eps <==> |c + (a - x[n+1])| < eps <==> -eps < c +
> (a - x[n+1]) < eps <==>
> <==> -eps -(a - x[n+1]) = -(eps + (a-x[n+1]) < c < eps + (x[n+1] - a)
> Mas como |x[n+1] - a| < delta < eps <==> -eps < -delta < x[n+1] - a < delta
> < eps ==> 0 < eps + (x[n+1] - a) < 2eps, e também -(2eps) < -(eps + (a -
> x[n+1])) < 0
> Logo, -2eps < c < 2eps. Como isso vale para qualquer eps real positivo, não
> importando quão pequeno seja, c só pode ser 0 (por intervalos encaixantes).
> Então phi(a) = a. Então x[n] converge para um ponto fixo de phi.
>
>
>
> Tá certo isso aí?
> Tem algum jeito mais direto? Ou a idéia tem que ser essa mesma?
>
> Abraço
> Bruno
>
>
> --
> Bruno França dos Reis
> email: bfreis - gmail.com <http://gmail.com>
> gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
> icq: 12626000
>
> e^(pi*i)+1=0
>


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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