[obm-l] Convergencia e ponto fixo

[Bruno França dos Reis <bfreis@xxxxxxxxx>]

Oi, gente.
Eu tava fazendo minha lista de cálculo numérico, quando chego a este exercício:

Prove ou dê um contra-exemplo:
Se phi é uma função contínua definida nos reais, e a sequência x[n+1] =
phi(x[n]) converge, então x[n] converge para um ponto fixo de phi.

Acredito que seja verdade. Aqui vai minha demo:

Se x[n] converge, podemos dizer que converge a um numero a. Isto é
equivalente a: Para todo delta > 0, existe N natural tq n > N
==> |x[n] - a| < delta.
Pela continuidade de phi, temos: para todo eps > 0, existe delta
> 0, que podemos tomar delta < eps, tal que x \in [a - delta, a +
delta] ==> |phi(x) - phi(a)| < eps.
Podemos escrever que phi(a) = a + c, para algum c real. Então temos:
Para todo eps > 0, existe delta, 0 < delta < eps, e existe N natural, tal que:
n > N  ==>  |x[n] - a| < delta 
<==>  x[n] \in [a - delta, a + delta]  ==> 
|phi(x[n]) - phi(a)| < eps  <==>
<==>  |x[n+1] - (a + c)| < eps  <==>  |c
+ (a - x[n+1])| < eps  <==> -eps < c + (a - x[n+1])
< eps  <==>
<==> -eps -(a - x[n+1]) = -(eps + (a-x[n+1]) < c < eps + (x[n+1] - a)
Mas como |x[n+1] - a| < delta < eps  <==> -eps <
-delta < x[n+1] - a < delta < eps ==>  0 < eps +
(x[n+1] - a) < 2eps, e também -(2eps) < -(eps + (a - x[n+1]))
< 0
Logo, -2eps < c < 2eps. Como isso vale para qualquer eps real
positivo, não importando quão pequeno seja, c só pode ser 0 (por
intervalos encaixantes). Então phi(a) = a. Então x[n] converge para um
ponto fixo de phi.



Tá certo isso aí?
Tem algum jeito mais direto? Ou a idéia tem que ser essa mesma?

Abraço
Bruno


--  
Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0