[obm-l] valor medio para integrais

[Eric Campos <mathfire2001@xxxxxxxxxxxx>]

Saudacoes!

Estou com uma duvida com respeito ao topico
"propriedade do valor medio para integrais", do livro
do Guidorizzi (vol.3, 2.ed). O teorema do livro eh o
seguinte:

Seja f:B->R, B contido em R^2. Cumprindo-se:

(hipotese)
1. f integravel;
2. f eh continua em B;
3. B eh limitado;
4. B eh fechado;
5. para cada par de pontos b_1, b_2 em B, existe uma
curva continua (com imagem contida em B) que liga
ambos; 
6. a fronteira de B tem conteudo nulo (um conjunto D
tem conteudo nulo se para cada eps>0 existe um numero
finito de retangulos A_1, A_2, ... A_n, tais que D
esteja contido na uniao dos A_i's e a soma das areas
destes A_i's eh menor que eps.)

entao

(tese)
existe pelo menos um ponto P=(r,s) em B tal que

integral(f dxdy sobre B) = 
= f(r,s)*integral(dxdy sobre B) = 
= f(r,s)*area(B).

Gostaria de saber se a tese continua valendo se
omitirmos alguma das 6 condicoes da hipotese. 

Eh claro que a condicao 1 tem que valer, senao a tese
nao faria sentido. 

Tambem sei que a condicao 2 (continuidade) tem que
valer. Basta considerar o exemplo:

f(x,y) = 1 se x=0 e f(x,y) = x caso contrario, para
(x,y) satisfazendo -1<=x<=1, -1<=y<=1, isto eh, B eh o
quadrado de vertices (-1,-1), (-1,1), (1,1), (1,-1).
Neste caso integral(f dxdy sobre B) = 0, mas nao
existe (r,s) em B tal que f(r,s)=0.

Eh facil ver que a condicao 5 eh necessaria. Tome B =
B_1 uniao B_2 onde a distancia entre B_1 e B_2 eh
maior que zero; defina f(x) = -1 se x estah em B_1 e
f(x)=1 se x esta em B_2 (x eh ponto do plano). Admita
ainda que as areas de B_1 e B_2 sejam iguais. Entao a
integral de f sobre B eh 0, mas nao existe x em B tal
que f(x)*Area(B)=0, pois ou f(x)=1 ou f(x)=-1. Logo a
condicao 5 eh necessaria. 

Entao cada uma das condicoes 1, 2, e 5 eh necessaria,
porem nao consegui exemplos que me mostrassem que as
condicoes 3, 4 e 6 sao tambem necessarias. Voces
poderiam me dar um exemplo para cada um desses 3
casos?

Amplexos!

Eric.



==========================================
http://geocities.yahoo.com.br/mathfire2001
www.mathfire.pop.com.br
Enciclopedia de Matematica - Aulas
Formulas para primos - Grupos de Estudo
Projeto Matematica para Todos
mathfire2001@yahoo.com.br
MSN: eric1729@hotmail.com
==========================================

__________________________________________________
Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger 
http://br.download.yahoo.com/messenger/ 
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================