Re: [obm-l] Prova da IMO - Primeiro dia - Solucoes

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Oi pessoal,
   Resolvi compilar as minhas soluções de cada um dos dias para fins de
referência (em particular porque algumas de minhas mensagens anteriores
foram um pouco confusas, ou por não ter a solução junto ou por não dizerem
no subject sobre que problema tratavam). Seguem aqui (como sempre, após a
mensagem original do Shine) as soluções do primeiro dia.
   Abraços,
            Gugu

P.S.: Seria ótimo se outras pessoas mandassem também as suas soluções -
vários problemas admitem mais de uma solução interessante...

>
>Oi gente,
>
>Acabei de ver a primeira prova da IMO no site
>http://www.mathlinks.ro/
>
>Lá vão os enunciados (eu mesmo traduzi agora).
>
>1. Escolhemos seis pontos sobre os lados do triângulo
>equilátero ABC: A_1, A_2 sobre BC; B_1, B_2 sobre AC;
>C_1, C_2 sobre AB. Essa escolha é feita de modo que
>A_1A_2B_1B_2C_1C_2 é um hexágono convexo com todos os
>seus lados iguais.
>
>Prove que A_1B_2, B_1C_2 e C_1A_2 são concorrentes.
>
>2. Seja a_1,a_2,... uma seqüência de inteiros com
>infinitos termos positivos e negativos. Suponha que
>para todo n inteiro positivo os números
>a_1,a_2,...,a_n deixam n restos diferentes na divisão
>por n.
>
>Prove que todo inteiro aparece exatamente uma vez na
>seqüência a_1,a_2,...
>
>3. Sejam x,y,z reais positivos tais que xyz >= 1.
>Prove que
>(x^5-x^2)/(x^5+y^2+z^2) + 
>(y^5-y^2)/(x^2+y^5+z^2) + 
>(z^5-z^2)/(x^2+y^2+z^5) >= 0.
>
>[]'s
>Shine
>
>
>		
>____________________________________________________
>Start your day with Yahoo! - make it your home page
>http://www.yahoo.com/r/hs
> 
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=========================================================================
>
Soluções:

1) Se o lado do triângulo e' 1 e denotamos um segmento em cada lado por a, b
e c, obtemos umas identidades como segue (pela lei dos cossenos): 
a^2+(1-x-b)^2-a(1-x-b)=x^2
b^2+(1-x-c)^2-b(1-x-c)=x^2
c^2+(1-x-a)^2-c(1-x-a)=x^2
Subtraindo a primeira da segunda temos a^2-c^2+(2c-b-a)(1-x)+b(a-c)=0, e,
subtraindo a terceira da segunda, temos b^2-a^2+(2a-c-b)(1-x)+c(b-a)=0, que
podem ser escritas como (a-c)(a+b+c)=(1-x)(a+b-2c) e
(b-a)(a+b+c)=(1-x)(b+c-2a). Multiplicando a primeira por b+c-2a, a segunda
por a+b-2c e igualando, temos, depois de cortar o a+b+c,
(a-c)(b+c-2a)=(b-a)(a+b-2c), donde a(2b-a-c)=b^2+ab-bc+c^2-2ac, ou seja,
ab+ac+bc=a^2+b^2+c^2, donde a=b=c, e a primeira equação vira algo como
a^2+(1-a-x)^2-a(1-a-x)=x^2, donde a^2+(1-a)^2-a(1-a)-2x(1-a)+ax=0, ou seja,
x(2-3a)=3a^2-3a+1, e 1-a-x=(1-2a)/(2-3a). Basta ver então que a reta que
passa por ((1-2a)/(2-3a),0) e (1/2+a/2,(1-a)sqrt(3)/2) passa por
(1/2,sqrt(3)/6), o centro do triângulo, e acabou.

2) Essa eu fiz assim: se 1<=i<j então |a_i-a_j|<j, senão, fazendo
n=|a_i-a_j|, temos 1<=i<j<=n mas a_i e a_j deixam o mesmo resto na divisão
por n. Assim, para todo n>=1, {a_1,a_2,...,a_n} tem que ser um "intervalo",
isto é, um conjunto de n inteiros consecutivos (com efeito, pelo fato acima, 
a diferença entre o menor e o maior desses números é menor que n, e eles são
todos distintos). Como uma união crescente de "intervalos" de inteiros que é 
ilimitada dos dois lados tem que o conjunto de todos os inteiros, acabou.

3) Aqui, chamei x^2+y^2+z^2 de A (que e' pelo menos 3, por MA-MG, pois
xyz>=1) e ai' o negócio fica r/(A+r)+s/(A+s)+t/(A+t), onde r, s e t são 
x^5-x^2, y^5-y^2 e z^5-z^2, respectivamente. Aí eu troquei os w^5-w^2 por
w^3-1, para w=x,y,z (se der certo a desigualdade com essa troca então vale a 
original, pois, como w>0, w^5-w^2 e' maior que w^3-1). Assim, basta provar
que (x^3-1)/(A+x^3-1)+(y^3-1)/(A+y^3-1)+(z^3-1)/(A+z^3-1)>=0, o que equivale
a 3-A(1/(A+x^3-1)+1/(A+y^3-1)+1/(A+z^3-1))>=0, e, fazendo c=A-1>=2, m=x^3,
n=y^3, p=z^3, isso equivale a mostrar que 1/(m+c)+1/(n+c)+1/(p+c)<=3/(1+c),
sabendo que m,n,p>0, mnp>=1 e c>=2. Isso pode ser mostrado assim: podemos
supor mnp=1 (se aumentamos um deles, o lado esquerdo diminui, e o direito
não muda). Supondo m<=n<=p, como mnp=1, segue que mn<=1, e portanto, fazendo
u=m^(1/2) e v=n^(1/2), temos 1/(u^2+c)+1/(v^2+c)-2/(uv+c)=
=(uv+c)(u^2+v^2+2c)-2(u^2+c)(v^2+c)=(uv-c)(u^2+v^2-2uv)<=0, i.e, trocando m
e n por (mn)^(1/2), o lado direito não diminui, e logo podemos supor m=n, e 
p=1/m^2. A desigualdade então fica 2/(m+c)+m^2/(1+cm^2)<=3/(1+c), o que
equivale a (1+c)(2(1+cm^2)+m^2.(m+c))-3(m+c)(cm^2+1)<=0. O lado esquerdo é
(1-2c)m^3+3cm^2-3m+(2-c)=(m-1)^2.((1-2c)m+2-c)<=0, pois c>=2 e m>=0, cqd.  
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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