Re: [obm-l] Prova da IMO - Primeiro dia

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Oi pessoal,
   Segue uma solução do Problema 3 (após a mensagem original).
   Abraços,
             Gugu
>
>Oi gente,
>
>Acabei de ver a primeira prova da IMO no site
>http://www.mathlinks.ro/
>
>Lá vão os enunciados (eu mesmo traduzi agora).
>
>1. Escolhemos seis pontos sobre os lados do triângulo
>equilátero ABC: A_1, A_2 sobre BC; B_1, B_2 sobre AC;
>C_1, C_2 sobre AB. Essa escolha é feita de modo que
>A_1A_2B_1B_2C_1C_2 é um hexágono convexo com todos os
>seus lados iguais.
>
>Prove que A_1B_2, B_1C_2 e C_1A_2 são concorrentes.
>
>2. Seja a_1,a_2,... uma seqüência de inteiros com
>infinitos termos positivos e negativos. Suponha que
>para todo n inteiro positivo os números
>a_1,a_2,...,a_n deixam n restos diferentes na divisão
>por n.
>
>Prove que todo inteiro aparece exatamente uma vez na
>seqüência a_1,a_2,...
>
>3. Sejam x,y,z reais positivos tais que xyz >= 1.
>Prove que
>(x^5-x^2)/(x^5+y^2+z^2) + 
>(y^5-y^2)/(x^2+y^5+z^2) + 
>(z^5-z^2)/(x^2+y^2+z^5) >= 0.
>
>[]'s
>Shine
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>

No 3, chamei x^2+y^2+z^2 de A (que e' pelo menos 3, por MA-MG, pois xyz>=1)
e ai' o negócio fica r/(A+r)+s/(A+s)+t/(A+t), onde r, s e t são x^5-x^2,
y^5-y^2 e z^5-z^2, respectivamente. Aí eu troquei os w^5-w^2 por w^3-1, para 
w=x,y,z (se der certo a desigualdae com essa troca então vale a original,
pois, como w>0, w^5-w^2 e' maior que w^3-1). Assim, basta provar que
(x^3-1)/(A+x^3-1)+(y^3-1)/(A+y^3-1)+(z^3-1)/(A+z^3-1)>=0, o que equivale a
3-A(1/(A+x^3-1)+1/(A+y^3-1)+1/(A+z^3-1))>=0, e, fazendo c=A-1>=2, m=x^3,
n=y^3, p=z^3, isso equivale a mostrar que 1/(m+c)+1/(n+c)+1/(p+c)<=3/(1+c),
sabendo que m,n,p>0, mnp>=1 e c>=2. Isso pode ser mostrado assim: podemos
supor mnp=1 (se aumentamos um deles, o lado esquerdo diminui, e o direito
não muda). Supondo m<=n<=p, como mnp=1, segue que mn<=1, e portanto, fazendo
u=m^(1/2) e v=n^(1/2), temos 1/(u^2+c)+1/(v^2+c)-2/(uv+c)=
=(uv+c)(u^2+v^2+2c)-2(u^2+c)(v^2+c)=(uv-c)(u^2+v^2-2uv)<=0, i.e, trocando m
e n por (mn)^(1/2), o lado direito não diminui, e logo podemos supor m=n, e 
p=1/m^2. A desigualdade então fica 2/(m+c)+m^2/(1+cm^2)<=3/(1+c), o que
equivale a (1+c)(2(1+cm^2)+m^2.(m+c))-3(m+c)(cm^2+1)<=0. O lado esquerdo é
(1-2c)m^3+3cm^2-3m+(2-c)=(m-1)^2.((1-2c)m+2-c)<=0, pois c>=2 e m>=0, cqd. 
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