Re: [obm-l] Uma legal de Trigonometria!

[Marcos Martinelli <mffmartinelli@xxxxxxxxx>]

Seja Un(x) o polinômio de Chebyschev de segunda classe tal que
sen(na)=sen(a)*U(n-1)(cosa). Pode-se mostrar que este polinômio é tal
que U0(x)=0 e que U1(x)=2x e U(n+2)(x)=2x*U(n+1)(x)-Un(x). Resolvendo
esta recorrência, temos para x<>+-1
U(n-1)(x)=(q2^n-q1^n)/(2*sqrt(x^2-1)), onde q2=(x+sqrt(x^2-1) e
q1*q2=1. Sendo assim:
SOMATÓRIO [1/sen((2^k)*a)]=2i*SOMATÓRIO[1/(q2^(2^k)-q1^(2^k)], para
todo k inteiro tal que 0<=k<=n (i é a unidade imaginária). E agora
basta resolver este novo somatório, que cai depois de uma mudança
acaba virando uma pg.

Certo... Na minha solução acabo chegando em um número que parece um
complexo, mas depois de desenvolvê-lo (o que dá um pouco de trabalho)
chega-se na resposta. Ainda estou pensando no segundo e por enquanto
nada. Para finalizar minha solução preciso encontrar a seguinte soma:

SOMATÓRIO [q2^(2^K)-q1^(2^k)] para 0<=k<=n, onde q1*q2=1. Mas não to
conseguindo desenvolvê-lo...

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================