Re: [obm-l] Dúvidas de matrizes. Alguém pode me ajudar?

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Oi gente,

O 1 sai usando a útil identidade (que também vale para
matrizes quadradas)
  A^k - I = (A - I)(A^(k-1) + A^(k-2) + ... + A + I)
(para números complexos, troque I por 1).

Por definição, uma matriz A é nilpotente quando A^m =
0 para algum m inteiro positivo. Observe que nem toda
matriz nilpotente é nula; por exemplo, as matrizes A
quadradas de ordem n que possuem todas as entradas
nulas exceto uma que não esteja na diagonal principal
satisfaz A^2 = 0.

Neste caso, a matriz precisa ser n por n; o produto AB
(nesta ordem) de duas matrizes A m por n e B p por q
só é definido quando n = p. Então A^2, que é A vezes
A, só está definido para A m por n quando n = m, ou
seja, quando A é quadrada.

OK, usando a identidade acima o problema de provar que
A - I é inversível e mesmo o de achar o inverso fica
simples: sendo k tal que A^k = 0, temos 
    A^k - I = (A - I)(A^(k-1) + A^(k-2) + ... + A + I)
<=> -I = (A - I)(A^(k-1) + A^(k-2) + ... + A + I)

Logo A-I é inversível e sua inversa é
  -(A^(k-1) + A^(k-2) + ... + A + I).

[]'s
Shine

--- admath <admath@bol.com.br> wrote:

> 1) Seja A uma matriz nilpotente nxn, mostre que A
> -In  é inversível e obtenha sua inversa.
>                 Gostaria de saber como resolvo este
> tipo de questão organizadamente, separando a
> hipótese a tese, essas coisas.
> 
> 2) A matriz inversa é A-1, onde A-1.A = A.A-1=I
>                                Por que preciso
> garantir a matriz A sendo nxn?
> 
> Obrigado.
> 


__________________________________________________
Do You Yahoo!?
Tired of spam?  Yahoo! Mail has the best spam protection around 
http://mail.yahoo.com 
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================