=?WINDOWS-1252?Q?Re:_[obm-l]_N=FAmero_curiosos?=

[Bruno Pereira Dias <bpdias@xxxxxxxxx>]

Essa questão já caiu na OBM. No site tem duas soluções diferentes.Dêem uma ohada...
XXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICASegunda Fase – Nível 2 (7a. ou 8a. séries)PROBLEMA 5 
Dizemos que um conjunto A formado por 4 algarismos distintos e nãonulos é intercambiável se podemos formar dois pares de números, cadaum com 2 algarismos de A, de modo que o produto dos números de cadapar seja o mesmo e que, em cada par, todos os dígitos de A sejamutilizados.
Por exemplo, o conjunto {1;2;3;6} é intercambiável pois 21 × 36 = 12 × 63.
Determine todos os conjuntos intercambiáveis.
Um abraço,
Bruno
On 7/15/05, Bruno França dos Reis <bfreis@gmail.com> wrote:> Olá!>  >  Olha só que legal:>  >  (10a + b) * (10c + d) = (10b + a) * (10d + c)>  100ac + 10(ad + bc) + bd = 100bd + 10(ad + bc) + ac>  100ac + bd = 100bd + ac>  como 1 <= a, b, c, d <= 9, temos ac,bd < 100.>  Então devemos ter:>  ac = bd>  >  Isto é: se o produto dos primeiros algarismos de cada número for igual ao produto dos últimos algarimos de cada número, então o número goza da propriedade que vc destacou (*), o que acaba com a sua "sorte" (sem querer ser chato ;-) ).>  >  olhe só:>  pegue 24 e 63. 2*6 = 4*3 = 12>  24 * 63 = 1512 = 42 * 36>  >  Abraço!>  Bruno> >  >  (*)>  Para ficar mais claro (e, de fato, provarmos a conjectura)>  Queremos provar:  ac = bd  <==>  (10a+b)(10c+d) = (10b+a)(10d+c)>  ac = bd ==> 100ac + bd = 100bd + ac <==> 100ac + 10(ad + bc) + bd = 100bd + 10(ad + bc) + bd <==> (10a+b)(10c+d) = (10b+a)(10d+c)>  .:. ac = bd ==> (10a+b)(10c+d) = (10b+a)(10d+c)>  O lado <== da relação já foi provado acima (usando a hipótese de que a,b,c,d são inteiros entre 1 e 9).> >  > > On 7/15/05, André Luiz Martins Guimarães Orsi <webwildesign@hotmail.com> wrote:> >  Os números 12 e 42 têm uma propriedade curiosa. O produto de 12 por 42 é> > igual a 504. Se trocarmos os algarismos dos dois números, obteremos os> > números 21 e 24 cujo produto ainda é 504. O mesmo acontece com os número 26 > > e 93. Identifique outros números com esta propriedade.> > Obs: Gostaria de saber também se há alguma relação comum entre esses números> > ou se eles são escolhidos de forma aleatória ("sorte")?> > > > Valeu! André > > > > _________________________________________________________________> > MSN Messenger: converse online com seus amigos .> > http://messenger.msn.com.br> > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> > ========================================================================= > >!
 > > > > -- > Bruno França dos Reis> email: bfreis - gmail.com> gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key > icq: 12626000> > e^(pi*i)+1=0  


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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