Re: [obm-l] Medida

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um
paralelepipedo limitado e aberto de R^m de hipervolume
V. Como A tem medida nula, para todo eps>0 podemos
cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
paralelepipedos abertos e limitados, cada um com
hipervolume V_k, tal que Soma(k>1)V_k < eps/V. Temos
entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel de A X
P por paralelepipedos abertos de R^(m+n). O
hipervolume total desta colecao eh Soma(k>=1)V_k * V =
V *  Soma(k>=1)V_k < V * eps/V = eps. Como eps eh
arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula.

Considerando-se que subconjuntos mensuraveis de
conjuntos nulos sao tambem nulos, a conclusao anterior
pode ser extendida para o caso em que B eh um conjunto
limitado, pois neste caso B esta contido em um
paralelepipedo aberto e limitado.

O conjunto R^m pode ser dado pela uniao de uma colecao
enumeravel e disjunta {Q_k} de paralelepipedos
limitados de hipervolume 1. Entao, {A X Q^_k} eh uma
cobertura disjunta de A X R^m. Como A tem medida nula
e cada Q_k eh limitado, a conclusao anterior nos
mostra que cada A X Q_k tem medida nula. Invocando-se
agora a sigma-aditividade da medida, concluimos que A
X R^m tem medida nula. E valendo esta conclusao para o
caso B = R^m, segue-se que vale automaticamente para
qualque subconjunto B de R^m.

Estah certo?

Artur 


--- Tertuliano <tertuca@yahoo.com.br> wrote:

> Oi para todos!
> Alguem pode me ajudar neste?
> 
> Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em Rm um
> conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula.
> 
> Grato,
> Tertuliano
> 
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