Re:[obm-l] series - conv. uniforme

["claudio.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br

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Data:

Sun, 26 Jun 2005 17:24:11 -0300

Assunto:

[obm-l] series - conv. uniforme

> Olá pessoal, encalhei neste aqui:

>

> Seja V := {z pert C | Im(z) < 0 } Mostre que a serie de funcoes

> Somatoria[m >= 1] ((z+i)/(z-i))^m (z pert V) converge uniformemente sobre os compactos de V. [Sugestao:

> Observer que a funcao g(z) := (z+i)/(z-i) é uma aplicacao bijetora de V sobre o disco aberto centro na origem e

> raio 1]

>

> Quem puder, por gentileza, poderia postar a solucao?

> Obrigado

>

> Niski

>

 

Se eu não errei as contas, a n-ésima soma parcial dessa série é igual a:

S_n = (i(z+i)/2)*(1 - ((z+i)/(z-i))^n).

Logo, usando a sugestão (que implica que |(z+i)/(z-i)| < 1), concluímos que a série converge (pontualmente) para S = i(z+i)/2.

 

|S_n - S| = |(z+i)/(z-i)|^n*|z+i|/2.

 

Seja K um compacto de V. Então existem reais positivos a, b, c, com a < b tais que K está contido num retângulo R da forma:

R = {z complexo | -b <= Im(z) <= -a, -c <= Re(z) <= c }.

(esse é o passo crucial da demonstração - dê uma olhada no Corolário 2 do Teorema 11 do cap. 1 do Análise Real - vol. 2 do Elon (pg. 17), que trata de compactos contidos num aberto - e epsilon da demonstração é o "a" acima)

 

Nesse caso, z pertence a K ==>

z pertence a R ==>

|(z+i)/(z-i)| <= r = raiz(c^2 + (b+1)^2)/raiz(c^2 + (b-1)^2) < 1.

e

|z+i| <= s = raiz(c^2 + (b-a)^2)

Logo, |S_n - S| <= r^n*s/2 -> 0, quando n -> infinito.

 

Isso quer dizer que S_n tende a S uniformemente, pois |S_n - S| é majorada por uma sequência que tende a zero e independe de z.

 

[]s,

Claudio.