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Provavelmente não existe uma prova elementar da
irracionalidade de pi.
Se você pesquisar um pouco vai ver que
pi pode ser escrito de várias maneiras:
Como uma série infinita
(infinitas somas), como um processo iterativo de radiciação (infinitos
radicais),
como uma fração
contínua (infinitos denominadores), de forma que você deve começar
com a relação
de recorrência (escolhida inicialmente a
dedo) e a partir das propriedades da relação
de recorrência provar que o número que elas definem não pode ser racional (isso é só uma idéia -
nunca tentei fazer isso na prática).
Por exemplo:
Pegue um polígono regular de n lados
inscrito em uma circunferência unitária e
ache uma fórmula para o polígono de 2n lados em função do polígono
de
n lados. Começe com um quadrado, que vira
octógono, que vira 16 lados, etc..
Faça n tender ao
infinito e divida esse resultado por 2. Você tem
pi.
Mais ainda, você tem
uma fórmula para polígono de 2n lados em função de polígonos de n
lados.
A sugestão é usar essa
relação para provar a irracionalidade de pi. Mas, como todo número
transcendente
é irracional, então como
pi é transcendente (Lioville) então pi deve ser irracional.
A prova de
Lioville todavia é difícil de entender.
Espero ter ajudado
em algo.
[]s
----- Original Message -----
Sent: Sunday, June 19, 2005 2:03 PM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l]
irracionalidade do pi
pi irracional e poder ser escrito como razão do comprimento e diametro da
circunferência significa que comprimento e diametro não são inteiros
simultaneamente........acho que pode-se comparar com a questão dos lados e
diagonal do quadrado......não é possível lados e diagonal
inteiros. Carlos Gomes <cgmat@digizap.com.br>
escreveu:
Não
há nada de estranho, pois o que não pode ocorrer é pi=p/q com p e q
inteiros....,mas é claro que pi ou qualquer outro númeroo real pode ser
escrito como quociente de dois outros números reais
-----
Original Message -----
From:
To:
Sent: Sunday, June 19, 2005 1:12 AM
Subject:
[obm-l] Re: [obm-l] irracionalidade do pi
De fato eu também acho
estranho definir o pi como a razão entre o comprmento
e o diametro da
circunferência sendo ( o pi irracional )e gostaria de
entender
melhor
isso!
-- Mensagem original --
>Apesar de ser um assunto,
nem tanto, elementar, nossos alunos sempre nos
>fazem perguntas sobre
irracionais. Tipo:
>
>Alguém conhece algum método elementar de
demonstrar a irracionalidade do
>número pi (para o ensino
médio)?
>
>Se pi é irracional, não traz um certo desconforto
definí-lo como a razão
>entre o comprimento e o diâmetro da
circunferência? Afinal, quem é
>irracinal,
>pi ou
2.pi.r.?(pergunta inocente).
>
>É possível dar uma aproximação
razoável para a raiz quadrada de pi?
como?
>
>Obrigado.
>
>Em tempo, alguém conhece algum
sitio onde encontro exercícios e problemas
>com números primos para o
ensino
fundamental?
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