Re: [obm-l] fisica, analise, paradoxo

[Bruno França dos Reis <bfreis@xxxxxxxxx>]

Oi. Tudo bom?

Vc já estudou limites? Olha só:

Se vc disser que há um número finito de posições entre A e B, vc está
afirmando que EXISTE um número N > 0, real, que é maior que o número
de posições entre A e B. Chamemos esse número de posições, caso exista,
de p. Então vc está afirmando que existe um N > 0 tal que p < N
sempre se verifica.

Agora veja como vc definiu esse tal p:  p = 1/t, onde t é o tempo
que a partícula permanece em cada ponto. Então vc está afirmando que
existe um N tal que, para TODO t > 0, p = 1/t < N. Vamos provar
que isso não é verdade, mostrando que para todo N > 0, existe um eps
> 0 tal que 0 < t < eps implica p > N. Com efeito, escolha
eps = 1/N ==> t < eps = 1/N ==> t < 1/N ==> p = 1/t >
N ==> p > N. Então vemos que para todo N, podemos encontrar um
eps que torna p maior que N, ou seja, podemos trazer t suficientemente
próximo de 0 de modo que p seja maior que qualquer N.

Assim, NÃO EXISTE nenhum número N real tal que p < N sempre se
verifica (pois podemos diminuir t até que se torne maior que esse N),
i.e., p é maior que qualquer número real, logo tende a infinito (e,
portanto, não é finito o número de pontos em A e B).

Não quero entrar em detalhes de física se o tempo e/ou o espaço são
divididos em partes mínimas, pois não tenho a menor idéia sobre isso!
Mas na matemática, há infinitos pontos, ou "posições", entre 2 pontos,
se considerarmos o corpo ordenado completo dos reais.



Agora fica pra vc pensar: imagine os intervalos I = [0,1] e J = [0,10],
intervalos da reta dos reais. Qual deles tem maior número de pontos?
Fazendo uma ligação com seu problema: A e B distam 1 unidade, enquanto
A e C distam 10. Há um maior número de pontos entre A e C do que A e B?
Ou vice-versa? Ou não há uma dessas distâncias que tenha maior número
de pontos que a outra?


Abraço!
Bruno

On 6/5/05, Leonardo Teixeira <leo_mteixeira@yahoo.com.br> wrote:

Digamos que podemos para fixar a idéia dizer que t=1/10^1000000 que é um
número bem próximo de zero também, porém ainda não é zero.

t+t+...+t=Nt=(10^101)*(1/10^1000000) = 1/10^999989 segundos o que é menor
que um.

Não sei se viajei... mas é isso.

Léo


----- Original Message -----
From: "Eric Campos" <mathfire2001@yahoo.com.br>
To: "obm-l" < obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, June 04, 2005 11:06 PM
Subject: [obm-l] fisica, analise, paradoxo


> Ola
>
> Tive uma ideia que nao consigo explicar...
>
> Pretendo mostrar que existe apenas um numero finito de
> *posicoes* entre dois pontos. Segue prova:
>
> Considere uma particula P com velocidade constante de
> 1 metro por segundo e movendo-se em linha reta,
> partindo da posicao A e chegando a posicao B.
>
> Seja t o tempo (em segundos) que P permanece em cada
> posicao entre A e B. Tem-se t *diferente* de zero,
> pois caso contrario P iria de A ateh B num tempo nulo,
> o que nao ocorre.
>
> Digamos, para fixar ideias, que t=1/10^100 (t eh um
> numero positivo mas bem proximo de zero).
>
> Suponhamos que haja uma infinidade de posicoes entre A
> e B. Entao existem mais de N=10^101 posicoes entre A e
> B, de modo que o tempo que P leva para ir de A ateh B
> eh maior que
>
> t+t+...+t=Nt=(10^101)*(1/10^100)=10 segundos
>
> Absurdo!, pois P vai de A ateh B em apenas 1 segundo!
>
> Mais: se t=1/10^100, existem 10^100 posicoes entre A e
> B(!)
>
> Alguem pode me explicar isto?

-- 
Bruno França dos Reis
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