RES: [obm-l] Espacos metricos

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

(1) A demonstração da parte somente tambem nao eh dificil. Seja d a funcao
distancia em X. Como X eh totalmente limitado, podemos cobri-lo com uma
colecao finita de bolas abertas de raio 1. Dentre estas bolas, podemos
escolher uma, B_1, que contem termos x_n para uma infinidade de indices n
(se todas as bolas contivessem x_n para um numero finito de indices n, o
mesmo se verificaria para a sua uniao, de modo que a colecao destas bolas
nao cobriria a totalidade de X). Sendo I_1 o conjunto dos indices n para os
quais x_n pertence a B_1, temos entao que I_1 eh infinito.
De forma indutiva, suponhamos escolhidas bolas abertas B_1,...B_m, de raios
1,....1/m, tais que o conjunto I_m, dos indices n para os quais x_n pertence
a B_1 inter ....B_m, seja infinito. Cobrindo-se X com uma colecao finita de
bolas de raio 1/(m+1), podemos, com base no mesmo argumento anteriormente
apresentado, escolher uma, B_(m+1), tal que I_(m+1) seja infinito. Isto
completa a inducao e demonstra existir uma sequencia (B_m), de bolas abertas
de raio 1/m, tal que os respectivos conjuntos I_m sao infinitos. 
Em I_1, escolhamos um indice n_1 (I_1 eh infinito, logo nao eh vazio); em
I_2, escolhamos um indice n_2 > n_1 (eh possivel, pois I_2 eh infinito).
Prosseguindo-se indutivamente, geramos uma subsequencia x_n_k de x_n tal
que, para cada k, x_n_k pertence a B1 inter ...B_k. Como (B_1 inter B2 inter
....B_m) eh uma sequencia de conjuntos encaixados, para todos i,j>=k temos
que x_n_i e x_n_j estao em  B_1 inter B2 inter ....B_k <= B_k e que, em
razão disto, d(x_n_i, x_n_j) < 2/k. Dado eps >0, podemos escolher k >= 2/eps
e teremos  d(x_n_i, x_n_j) < eps para  todos i,j>=k. Temos, portanto, que
x_n_k e uma subsequencia de Cauchy.
Nesta demosntração, recorremos varias vezes o Axioma da Escolha.
(De uma conferida na demonstracao, ando tomando uns remedios que prejudicam
o raciocinio e posso estar confundindo bola aberta com bola de sinuca)

(2) A reciproca nao eh verdadeira. Como contra-exemplo, temos qualquer
sequencia x_n em R^m que seja limitada mas nao convergente, como (sen(n)). O
conjunto {x_n} eh limitado e, portanto, totalmente limitado (em R^m, todo
conjunto limitado eh, automaticamente, totalmente limitado). Mas como x_n
nao eh convergente e R^m eh completo, x_n nao eh de Cauchy. 

Artur



-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Sandra
Enviada em: segunda-feira, 30 de maio de 2005 12:11
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Espacos metricos



Oi pessoal,
Gostaria de uma ajuda com as seguintes demonstracoes:

(1) Um espaco metrico X eh totalmente limitado se, e somente se, toda
sequencia de X contiver uma subsequencia de Cauchy.

Por contraposicao eu consegui demonstrar a parte "se", mas estou me perdendo
um pouuco na parte "somente", isto, se X eh totalmente limitado, entao toda
sequencia de X contem uma sequencia de Cauchy.

(2) Se x_n eh uma sequencia de Cauchy em um espaco metrico, entao o conjunto
{x_n} eh totalmente limitado. Esta demonstracao nao eh dificil, basta
considerar as definicoes. Mas estou na duvida se a reciproca eh verdadeira.

Obrigada
Sandra

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