Re: [obm-l] Geometria Plana

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, May 10, 2005 at 02:11:08AM -0300, Paulo Cesar wrote:
> Seja ABC um triângulo isósceles com AB=AC e ângulo BAC valendo 12º.
> Traça-se de B a bissetriz BD, D em AC, e traça-se de C a ceviana CE, E
> em AB, de modo que o ângulo ECB seja 30º. Determine o ângulo BDE.

Alguém mandou uma solução por trigonometria e eu mesmo já mandei
uma solução geométrica. Gostaria de mostrar uma terceira solução.
Vou tentar redigí-la de tal forma que fique claro que um aluno
de final de ensino médio, organizado mas não necessariamente brilhante,
tem chance de resolver a questão.

Primeiro nosso heroi faz um desenho bem caprichado do problema,
como o que está em anexo. Ele precisa ter a idéia de fazer o triângulo
ABC ser uma das fatias de um 30-ágono regular, mas feito isso não é
muito difícil conjecturar que a reta DE passa por P2 e P26.
Se a conjectura for correta é fácil calcular todos os ângulos
e o problema acaba. Para provar a conjectura, basta provar que as triplas
de retas AP1, P2P26, P0P6 e AP0, P1P23, P2P26 são concorrentes.
Para a primeira tripla isto é trivial por simetria na reta AP1.
A segunda tripla nosso heroi se propõe a verificar por analítica, no braço.

Nosso heroi sabe verificar mais facilmente se três pontos são colinerares
usando um determinante, então ele pega os duais das três retas.
Podemos fazer Pk = (cos ka, sen ka), a = pi/15,
e então é fácil ver que os duais são
(0,1,0) (um ponto no infinito),
sec 3a (cos a, -sen a), sec 4a (cos 3a, -sen 3a).
Basta assim provar que o determinante abaixo é zero:

D = det([[0,1,0], [cos a, -sen a, cos 3a], [cos 3a, -sen 3a, cos 4a]])
= det([[cos 3a, cos a], [cos 4a, cos a]]) = cos^2 3a - cos a cos 4a.

Fazendo z = cos a + i sen a, temos

4D = ((z^3 + z^(-3))^2 - (z + z^(-1))(z^4 + z^(-4))
   = z^(-6) (z^12 - z^11 - z^9 + 2z^6 - z^3 - z + 1).

Assim, precisamos verificar que p = z^12 - z^11 - z^9 + 2z^6 - z^3 - z + 1 = 0.
Nosso heroi também sabe encontrar o polinômio q de coeficientes inteiros
de menor grau que tem raiz z:

q = (z^30 - 1)(z^5 - 1)(z^3 - 1)(z^2 - 1)/
   ((z^15 - 1)(z^10 - 1)(z^6 - 1)(z - 1))
  = z^8 + z^7 - z^5 - z^4 - z^3 + z + 1.

Uma divisão revela que p = q*(z^4 - 2z^3 + 2z^2 - 2z + 1), donde p = 0,
como queríamos.

[]s, N.

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